die Erweiterung \({T}_{w}^{*}{\mathfrak{g}}\) einer endlichdimensionalen Lie-Algebra (𝔤, [·, ·]) über einem Körper 𝕂 durch ihren Dualraum 𝔤^∗, auf dem 𝔤 vermöge der koadjungierten Darstellung wirkt. Hierbei ist w ∈ Λ³ 𝔤^∗ ist ein skalarer 3-Kozyklus von 𝔤.

Auf dem Vektorraum \({T}_{w}^{*}{\mathfrak{g}}\) = 𝔤 ⊕ 𝔤^∗ wird die Lie-Klammer [·, ·]_w durch (x, y ∈ 𝔤; α, β ∈ 𝔤^∗) \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{[x+\alpha, y+\beta ]}_{w}:=\\ \quad [x,y]+w(x,y,\cdot)+a{d}^{*}(x)\beta -a{d}^{*}(y)\alpha \end{array}\end{eqnarray}

eingeführt. Ferner liefert die natürliche Paarung \begin{eqnarray}q(x+\alpha, y+\beta):=\alpha (y)+\beta (x)\end{eqnarray}

eine nicht ausgeartete, unter der adjungierten Darstellung von \({T}_{w}^{*}{\mathfrak{g}}\) invariante symmetrische Bilinearform auf \({T}_{w}^{*}{\mathfrak{g}}\). Umgekehrt sind alle geradedimensionalen nilpotenten Lie-Algebren 𝔞 (und alle geradedimensionalen auflösbaren Lie-Algebren, falls char 𝕂 = 0), die eine ad(𝔞)-invariante nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform tragen, isometrisch isomorph zu einer T^∗-Erweiterung, falls 𝕂 algebraisch abgeschlossen ist.