Beispiel eines integrablen Hamiltonschen Systems im ℝ²ⁿ mit folgender Hamilton-Funktion: \begin{eqnarray}H(q,p)=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\frac{1}{2}{p}_{i}^{2}+\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{e}^{{q}_{i+1}-{q}_{i}}.\end{eqnarray}

Dieses System ist eines der wichtigsten integrablen Systeme und hat viele weitere mathematische Untersuchungen wie die Theorie der Poisson-Lie-Gruppen maßgeblich beeinflußt.

Es gibt auch allgemeinere Toda-Systeme, die den Dynkin-Diagrammen (Coxeter-Diagramm) halbeinfacher Lie-Algebren zugeordnet werden.

Todd-Klasse, Begriff von fundamentaler Bedeutung für das Riemann-Roch-Theorem und die Hirzebruch-Signatur-Formel.

Für ein komplexes Vektorbündel E vom Rang n kann man formal schreiben \begin{eqnarray}c(E)=\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(1+{x}_{i}),\end{eqnarray} wobei man sich die x_i als erste Chern-Klassen der Geradenbündel vorstellen kann, in die E durch den pullback von σ : F (E) → E aufspaltet, \begin{eqnarray}{\sigma}^{-1}E={L}_{1}\oplus \cdots \oplus {L}_{n}.\end{eqnarray}F (E) bezeichne die Aufspaltungs-Mannigfaltigkeit von E, und die L_i seien Geradenbündel über F (E). Da die Chern-Klassen c₁(E), …, c_n(E) die elementarsymmetrischen Funktionen von x₁, …, x_n sind, ist jedes symmetrische Polynom in x₁, …, x_n ein Polynom in c₁(E), …, c_n(E). Ein ähnliches Ergebnis gilt für Potenzreihen.

Sei E = L₁ ⊕ … ⊕ L_n die direkte Summe von Geradenbündeln. Dann gilt für das äußere Produkt \begin{eqnarray}\mathop{\bigwedge}\limits^{p}E=\mathop{\bigoplus}\limits_{1\le {i}_{1}\lt \cdots \lt {i}_{p}\le n}({L}_{{i}_{1}}\otimes \cdots \otimes {L}_{{i}_{p}}).\end{eqnarray}

Für die Chern-Klasse gilt dann nach der Whitney-Produkt-Formel \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}c(\mathop{\bigwedge}\limits^{p}E) & = & \displaystyle \prod (1+{c}_{1}({L}_{{i}_{1}}\otimes \cdots \otimes {L}_{{i}_{p}}))\\ & = & \displaystyle \prod (1+{x}_{{i}_{1}}+\cdots +{x}_{{i}_{p}});\ {x}_{i}={c}_{1}({L}_{i}),\end{array}\end{eqnarray} wobei das Produkt über alle Multiindizes 1 ≤ i₁< … < i_p ≤ n genommen wird. Da die rechte Seite symmetrisch in x₁, …, x_n ist, kann sie als ein Polynom in c₁(E), …, c_n(E) dargestellt werden. Die Potenzreihe \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\frac{{x}_{i}}{1-{e}^{-{x}_{i}}}=Td\ ({c}_{1}(E),\ldots,{c}_{n}(E))=Td\ (E)\end{eqnarray} ist symmetrisch in x₁, …, x_n und daher eine Potenzreihe Td in c₁(E), …, c_n(E). Diese Potenzreihe Td (E) heißt die Todd-Klasse von E. Nach dem Aufspaltungsprinzip erfüllt sie automatisch die Produktformel \begin{eqnarray}Td\ (E\oplus F)=Td\ (E)\ Td\ (F).\end{eqnarray}