allgemeiner binärer Operator, 1961 von Schweizer und Sklar eingeführt, der zusammen mit der T-Konorm ein Operatorenpaar bildet.

Ein binärer Operator T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] wird als Triangular Norm oder kurz T-Norm bezeichnet, wenn für alle a, b, c, d ∈ [0, 1] gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{lr}T(a,1)=a & {neutrales}\ {Element}\ 1\\ T(a,b)=T(b,a) & {Kommutativit}\it \unicode{x000E4;}\text{t}\\ T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c) & {Assoziativit}\it \unicode{x000E4;}\text{t}\\ T(a,b)\le T(c,d), & \\ \text{wenn}\ a\le c\ \text{und}\ b\le d & {Monotonie}\end{array}\end{eqnarray}

Üblicherweise wird zusätzlich die Randbedingung T(0, 0) = 0 unterstellt.

Jede T-Norm T wird durch Extremoperatoren eingeschränkt gemäß \begin{eqnarray}{T}_{W}(a,b)\le T(a,b)\le \min (a,b),\end{eqnarray} wobei das sog. drastische Produkt T_W definiert ist als \begin{eqnarray}{T}_{W}(a,b)=\left\{\begin{array}{ll}a & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ b=1\\ b & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ a=1\\ 0 & \text{sonst}\end{array}\right.\end{eqnarray}

Weitere spezielle T-Normen sind das algebraisches Produkt unscharfer Mengen und die beschränkte Differenz unscharfer Mengen. Eine flexible T-Norm ist die von Yager vorgeschlagene parameterabhängige T-Norm T_p, die definiert ist als \begin{eqnarray}{T}_{p}(a,b)=1-\min \left(1,\ {({(1-a)}^{p}+{(1-b)}^{p})}^{\frac{1}{p}}\right).\end{eqnarray}

Dabei ist p eine beliebig festzulegende reelle Zahl aus dem Intervall [0, +∞). Für p = 0 entspricht T_p dem drastischen Produkt, für p = 1 der beschränkten Differenz, und für p → +∞ erhält man den Minimumoperator als Grenzwert. Da außerdem T_p monoton steigend ist in p, gestattet dieser Operator eine individuelle Festlegung des Durchschnittes unscharfer Mengen in dem gesamten Bereich zwischen dem drastischen Produkt und dem Minimumoperator.

Eine andere Familie von T-Normen bildet die parametrisierte Webersche T-Norm T_λ, die für λ ∈ [−1, +∞) definiert ist als \begin{eqnarray}{T}_{\lambda}(a,b)=\frac{a+b-1+\lambda ab}{1+\lambda}.\end{eqnarray}

Speziell ergibt sich für λ → −1 das drastische Produkt, für λ = 0 die beschränkte Differenz, und für λ → +∞ das algebraische Produkt.

Mathematisch interessant sind archimedische T-Normen: Eine T-Norm heißt archimedisch, wenn sie stetig ist, und wenn die Ungleichung \begin{eqnarray}T(a,a)\lt a\end{eqnarray} für alle a ∈ (0, 1) gilt. Die Funktion T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] ist genau dann eine Archimedische T-Norm, wenn eine streng monoton fallende Funktion f : [0, 1] → [0, +∞] existiert mit \begin{eqnarray}f(1)=0\ \ \ \mathrm{und}\ \ \ T(a,\ b)={f}^{-1}(f(a)+f(b)),\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}{f}^{-1}(y)=\left\{\begin{array}{cl}\{x\in [0,1]|f(x)=y\} & y\in [0,f(0)]\\ 0 & y\in [f(0),+\infty ]\end{array}\right.\end{eqnarray} ist. Gilt zusätzlich f (0) = +∞, so ist T streng monoton fallend in beiden Argumenten.

Ist f gleich f_p : [0, 1] → [0, 1] mit \begin{eqnarray}{f}_{p}(x)={(1-x)}^{p},\ \ \ \ p\gt 0,\end{eqnarray} so induziert f_p die Yagersche T-Norm T_p.