ein Konvergenzsatz für Potenzreihen.

Es seien \( {\sum}_{n=0}^{\infty}{a}_{n}{z}^{n}\)eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius 0 < r< ∞ und z₀ ∈ ℂ mit |z₀| = r gegeben. Gilt bei radialer Annäherung die Beziehung (Taubersche Bedingung)\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{z\to {z}_{0}}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{a}_{n}{z}^{n}=a\quad und\quad\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty}n\cdot {a}_{n}{z}_{0}^{n}=0,\end{eqnarray}

so folgt\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{a}_{n}{z}^{n}_0=a.\end{eqnarray}

Wie Hardy und Littlewood gezeigt haben, gilt dieser Satz auch schon unter der schwächeren Bedingung \(|n\cdot {a}_{n}{z}_{0}^{n}|\lt K\) mit einem festen K > 0.