Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt.

Es seien \(({\rm{\Omega}},{\mathcal{A}})\) ein Meßraum und f : Ω → ℝ eine \(({\mathcal{A}}-{\mathcal{B}}({\mathbb{R}}))\)-meßbare Funktion. Dann heißt f Treppenfunktion, falls f nur endlich viele verschiedene Werte annehmen kann. Die Bedeutung der Treppenfunktion in der Maßtheorie besteht im folgenden Satz:

Eine nicht negative Funktion \(f:{\rm{\Omega}}\to \bar{{\mathbb{R}}}\)ist genau dann meßbar, wenn es eine isotone Folge (f_n\n ∈ ℕ) von Treppenfunktionen auf Ω gibt, die punktweise gegen f konvergiert.

Siehe auch Elementarfunktion, μ-Integral.