Lexikon der Mathematik: Umlaufzahl
Begriff aus der Funktionentheorie.
Die Umlaufzahl eines rektifizierbaren geschlossenen Wegesγ in ℂ bezüglich eines Punktes z ∈ ℂ,
der nicht auf γ liegt, ist definiert durch
Es gilt stets indγ (z) ∈ ℤ. Man nennt indγ (z) auch Indexfunktion.
Anschaulich gibt indγ (z) an, wie oft der Weg γ den Punkt z umläuft. Ist beispielsweise B eine offene Kreisscheibe und γ die genau einmal gegen den Urzeigersinn (also in positivem Umlaufsinn) durchlaufene Kreislinie ∂B, so gilt
Wird ∂B genau k-mal (k ∈ ℕ) gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, so gilt
Durchläuft man hingegen ∂B genau k-mal im Uhrzeigersinn, so gilt
Die Funktion indγ(z) ist lokal konstant, d.h. zu jeder Zusammenhangskomponente U von ℂ \ γ gibt es eine Konstante ku ∈ Z mit indγ (z) = kU für alle z ∈ U. Man beachte, daß ℂ \ γ viele Zusammenhangskomponenten besitzen kann, sofern der Weg γ Überschneidungen enthält. Für die unbeschränkte Zusammenhangskomponente U∞ von ℂ \ γ gilt stets \({k}_{{U}_{\infty}}=0\).
Es seien γ und \(\tilde{\gamma}\) geschlossene Wege mit demselben Anfangspunkt, d. h. es existieren Parameterdarstellungen γ : [a, b] → ℂ und \(\tilde{\gamma}:[\tilde{a},\ \tilde{b}]\to {\mathbb{C}}\) mit \(\gamma (a)=\tilde{\gamma}(\tilde{a})\). Dann ist der Summenweg
Weiter ist der Umkehrweg − γ : [a, b] → ℂ definiert durch (−γ)(t) ≔ γ(a + b − t). Dann gilt für die Umlaufzahlen
Allgemeiner kann die Umlaufzahl auch für Zyklen definiert werden. Hierzu wird auf dieses Stichwort verwiesen.
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