Lexikon der Mathematik: Verzweigungsindex
Verzweigungsexponent,Kenngröße eines Primideals bei Erweiterung eines Zahlkörpers.
Sei L eine endliche Erweiterung des Zahlkörpers K, und bezeichne \({{\mathfrak{D}}}_{L}\) bzw. \({{\mathfrak{D}}}_{K}\) die Hauptordnung von L bzw. K. Weiter sei \({\mathfrak{p}}\subset {{\mathfrak{D}}}_{K}\) ein maximales Ideal, dessen Einbettung in \({{\mathfrak{D}}}_{L}\) die Primfaktorisierung
\begin{eqnarray}{\mathfrak{p}}{{\mathfrak{D}}}_{L}=\displaystyle \prod _{i=1}^{g}{{\mathfrak{B}}}_{i}^{{e}_{i}}\end{eqnarray}
mit Primidealen \({{\mathfrak{B}}}_{i}\subset {{\mathfrak{D}}}_{L}\) und Exponenten ei ∈ ℕ besitze. Man nennt einen Exponentens
\begin{eqnarray}{e}_{i}={e}_{i}({{\mathfrak{B}}}_{i}|{\mathfrak{p}})\end{eqnarray}
auch Verzweigungsindex oder Verzweigungsexponent von \({{\mathfrak{B}}}_{i}|{\mathfrak{p}}\)Ist \({e}_{i}({{\mathfrak{B}}}_{i}|{\mathfrak{p}})=1\) so nennt man \({{\mathfrak{B}}}_{i}|{\mathfrak{p}}\) verzweigt, andernfalls unverzweigt.
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