auch als Rang-Vorzeichen-Test bezeichneter nichtparametrischer (nichtparametrische Statistik) Signifikanztest zum Vergleich der Verteilungen zweier abhängiger Stichproben.

Er wird angewendet, wenn die Daten nicht normalverteilt sind und mindestens auf ordinalem Skalenniveau (Skalentypen) vorliegen. (Im Falle der Normalverteilung wird der t-Test angewendet). Der Wilcoxon-Test erfordert, verglichen mit dem t-Test, wesentlich weniger Rechenaufwand, testet normalverteilte Differenzen aber fast ebenso scharf; seine asymptotische Wirksamkeit (Testtheorie) liegt bei 95 Prozent.

Seien X₁ und X₂ zwei Zufallsgrößen mit den unbekannten Verteilungsfunktionen F₁(x)bzw. F₂(x), x ∈ ℝ. X₁ und X₂ werden an den gleichen n Objekten beobachtet. Seien \({\overrightarrow{X}}_{1}\) = (X₁₁,…,X_1n) und \({\overrightarrow{X}}_{2}\) = (X₂₁,…,X_2n) die jeweiligen Beobachtungen. Der Wilcoxon-Test ist analog zum U-Test ein Test zum Prüfen ein- und zweiseitiger Hypothesen über die Gleichheit der Verteilungsfunktionen von X₁ und X₂ ; im zweiseitigen Fall lauten sie: \begin{eqnarray}{H}_{0}:{F}_{1}(x)={F}_{2}(x)\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text {alle}\ x\in {\mathbb{R}}\end{eqnarray}

gegen \begin{eqnarray}{H}_{1}:\text{es existiert ein}\,x\in {\mathbb{R}}\,\text{mit}\,{F}_{1}(x)\ne {F}_{2}(x).\end{eqnarray}

Hierin eingeschlossen sind Hypothesen über die Gleichheit der Erwartungswerte von EX₁ und EX₂ : \begin{eqnarray}{H}_{0}:E{X}_{1}=E{X}_{2}\,\,\text{gegen}\,\,{H}_{1}:E{X}_{1}\ne E{X}_{2}\end{eqnarray}

Zur Berechnung der Teststatistik dieses Tests bildet man die Differenzen d_i = X_i1 − X_i2 der Wertepaare und bringt deren absolute Beträge |d_i | in eine ansteigende Rangordnung, d. h., weist den Beträgen |d_i | ihre Rangplatzzahl (geordnete Stichprobe) zu. Dabei werden nur Beträge mit |d_i | > 0 berücksichtigt. Bei jeder Rangzahl wird vermerkt, ob die zugehörige Differenz ein positives oder ein negatives Vorzeichen aufweist. Man bildet dann die Summe der positiven und negativen Rangzahlen R_pos und R_neg. Es muß gelten: \begin{eqnarray}{R}_{pos}+{R}_{neg}=\frac{n(n+1)}{2}.\end{eqnarray}

Die Testgröße des Wilcoxon-Tests ist \begin{eqnarray}T=R=\min ({R}_{pos},{R}_{neg}).\end{eqnarray}

T besitzt eine sogenannte R-Verteilung mit dem Parameter n. H₀ wird abgelehnt (im zweiseitigen Fall), falls gilt: \begin{eqnarray}T\le R(n,\frac{\alpha}{2}),\end{eqnarray}

wobei der kritische Wert R(n, p) des Tests aus statistischen Tabellen zu entnehmen ist. Für n ≥ 25 kann eine Approximation durch die Normalverteilung erfolgen. Anstelle von T verwendet man die Teststatistik \begin{eqnarray}\tilde{T}=\frac{\frac{n(n+1)}{4}-T}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}},\end{eqnarray}

die approximativ standardnormalverteilt ist. Die Entscheidungsregel lautet in diesem Fall \begin{eqnarray}|\tilde{T}|\gt {z}_{1}-{\scriptstyle \frac{\alpha}{2}}\to {H}_{0}\,\text{wird abgelehnt}\text{.}\end{eqnarray}

z_p ist das p−Quantil der Standardnormalverteilung.

Ein Beispiel. Ein Chemiker soll zwei für die Bestimmung von Testosteron im Urin eingesetzte Methoden A und B anhand von 10 Urinproben bei zweiseitiger Fragestellung bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art von α = 0,1 vergleichen. Die Nullhypothese H₀ besagt also, daß es keine Unterschiede zwischen beiden Methoden gibt. Es sind folgende Werte (in mg pro 24 Stunden-Urin) gemessen worden:

Damit erhält man T = min(R_min, R_pos) = 18. Aus einer Tabelle entnehmen wir bei zweiseitiger Fragestellung und α = 0, 05 den kritischen Wert R(n = 9, α/2) = 5. Da T > 5 ist, kann H₀ nicht abgelehnt werden.