eine Bezeichnung für einen Typus spezieller Signifikanztests, deren Teststatistik (Testgröße) T unter der Annahme der Gültigkeit der Nullhypothese H₀ einer Studentschen t-Verteilung genügt (siehe auch Stichprobenfunktionen).

t-Tests werden u. a. zum Prüfen von Mittelwerten normalverteilter Grundgesamtheiten mit unbekannter Varianz verwendet. Man unterscheidet dabei den

1. t-Test zum Prüfen eines Erwartungswertes EX gegen einen vorgegebenen Wert μ₀
2. t-Test zum Vergleich zweier Erwartungswerte EX₁ und EX₂ unabhängiger Stichproben
3. t-Test zum Vergleich zweier Erwartungswerte EX₁ und EX₂ verbundener Stichproben

Tabelle 1 zeigt eine Übersicht über t-Tests zum Prüfen des Erwartungswertes EX einer normalverteilten Zufallsgröße X gegen einen vorgegebenen Wert μ₀. Dabei sind \begin{eqnarray}\overline{X}=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\ {\rm{und}}\ {S}^{2}=\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline{X})}^{2}\end{eqnarray} die aus einer Stichprobe (X₁,…, X_n) von X berechneten Schätzungen für den Erwartungswert und die Varianz von X (empirischer Mittelwert, empirische Streuung); t_v(p) ist das untere p–Quantil (Quantil) der t-Verteilung mit v Freiheitsgraden.

Tabelle 3: \(\hat{\sigma}\) und v zu Tabelle 2

Fall a): gleiche Varianzen: \begin{eqnarray}\hat{\sigma}=S\sqrt{\frac{1}{{n}_{1}}+\frac{1}{{n}_{2}}}\end{eqnarray} mit \({S}^{2}=\frac{({n}_{1}-1){S}_{1}^{2}+({n}_{2}-1){S}_{2}^{2}}{{n}_{1}+{n}_{2}-2}\) und v = n₁ + n₂ − 2

Fall b): ungleiche Varianzen: \begin{eqnarray}\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{{S}_{1}^{2}}{{n}_{1}}+\frac{{S}_{2}^{2}}{{n}_{2}}}\end{eqnarray}v wird approximiert durch \begin{eqnarray}v=\frac{{\hat{\sigma}}^{2}}{\left(\frac{{S}_{1}^{2}}{{n}_{1}}\right)\frac{1}{{n}_{1}+1}+\left(\frac{{S}_{2}^{2}}{{n}_{2}}\right)\frac{1}{{n}_{2}+1}}-2\ (\mathrm{ganzzahlig\ aufrunden})\end{eqnarray}

Liegt für die Zufallsgrößen keine Normalverteilung vor, so wird der t-Test aufgrund seiner Robustheit gegenüber Abweichungen von der Normalverteilung in der Regel trotzdem angewendet, wenn die Stichprobenumfänge n bzw. n₁ und n₂ hinreichend groß sind. Bei kleinen Stichprobenumfängen empfiehlt es sich, einen parameterfreien Rangtest, wie den U-Test von Mann und Whitney oder den Wilcoxon-Test anzuwenden.

Ein Beispiel. Zwei unterschiedlich organisierte Fertigungsstraßen zur Produktion von Fahrradfelgen sollen hinsichtlich der mittleren Durchlaufzeit EX₁ und EX₂ miteinander verglichen werden. Es soll überprüft werden, ob sich bei Fertigungsstraße 2 eine Verbessserung ergibt. Wir formulieren dieses Problem als einseitiges Testproblem für zwei unabhängige Stichproben mit der Alternative \begin{eqnarray}{H}_{1}:E{X}_{1}\gt E{X}_{2}.\end{eqnarray}

Zum Prüfen werden in jedem System n = 10 Durchlaufzeiten erfaßt. Aus diesen beiden Stichproben werden für die arithmetischen Mittel und die Streuungen folgende Werte berechnet:

Der F-Test auf Gleichheit der Varianzen ergibt für die Teststatistik F und die kritischen Werte ϵ₁ und ϵ₂: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}F & = & \frac{{s}_{1}^{2}}{{s}_{2}^{2}}=1,15,\ {\rm{und}}\\ {\varepsilon}_{1} & = & {F}_{{n}_{1}-1,{n}_{2}-1}(\frac{\alpha}{2})\\ & = & {F}_{9,9}(0,025)=\frac{1}{{F}_{9,9}(0,975)}=\frac{1}{4,026}=0,284\\ {\varepsilon}_{2} & = & {F}_{{n}_{1}-1,{n}_{2}-1}(1-\frac{\alpha}{2})={F}_{9,9}(0,975)=4,026\end{array}\end{eqnarray}

Da ϵ₁< F< ϵ₂ gilt, sind die Varianzen als gleich anzusehen. Wir berechnen nun \(\hat{\sigma}\) und v gemäß Tabelle 3, Fall a), und führen den t-Test wie in Tabelle 2 beschrieben durch. Es ergibt sich \begin{eqnarray}{S}^{2}=\frac{9{(11,03)}^{2}+9{(10,8)}^{2}}{18}=113,67\\ {\rm{und}}\ S=10,66.\end{eqnarray}

Daraus erhalten wir \begin{eqnarray}\hat{\sigma}=10,66\sqrt{\frac{2}{10}}=4,77\\ {\rm{und}}\ v=10+10-2=18.\end{eqnarray}

Für die Teststatistik ergibt sich damit \begin{eqnarray}T=\frac{\overline{{X}_{1}}-\overline{{X}_{2}}}{\hat{\sigma}}=\frac{-1,7}{4,77}=-0,36\end{eqnarray}

Aus Tabellen der mathematischen Statistik liest man die kritischen Werte ab: \begin{eqnarray}\varepsilon ={t}_{18}(0,05)=-{t}_{18}(0,95)=-1,\ 734.\end{eqnarray}

Da T >ϵ ist, entscheiden wir uns für die Ablehnung von H₀, d.h., die Variante 2 liefert kürzere Durchlaufzeiten.