Student-Verteilung, t-Verteilung, Verteilung aus der Gruppe der theoretisch hergeleiteten Verteilungen für Stichprobenfunktionen.

Ihren Namen verdankt sie dem englischen Statistiker William Sealey Gosset, der 1908 unter dem Pseudonym „Student“ einen Artikel mit ihrer Ableitung veröffentlichte. Dabei ging er von der Fragestellung aus, wie Konfidenzintervalle für das arithmetische Mittel von Stichproben aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekannter Varianz zu bestimmen sind.

Es seien X₁ und X₂ zwei unabhängige Zufallsgrößen, wobei X₁ standardnormalverteilt und X₂ χ² – verteilt mit k Freiheitsgraden sei. Dann besitzt die Stichprobenfunktion \begin{eqnarray}T=\frac{{X}_{1}}{\sqrt{\frac{{X}_{2}}{k}}}\end{eqnarray}

eine sogenannte t- oder Student-Verteilung mit k Freiheitsgraden. Die t-Verteilung ist eine unbegrenzt teilbare Verteilung. k ist der einzige Parameter und bestimmt wesentlich die Gestalt der Dichtefunktion.

Für die Dichtefunktion gil \begin{eqnarray}f(x)=\frac{\Gamma ({\scriptstyle \frac{k+1}{2}})}{\sqrt{k\pi}\Gamma ({\scriptstyle \frac{k}{2}})}\frac{1}{{(1+{\scriptstyle \frac{{x}^{2}}{k}})}^{{\scriptstyle \frac{k+1}{2}}}},-\infty \lt x\lt +\infty, \end{eqnarray}

wobei Γ(p) die Eulersche Γ-Funktion bezeichnet.

Die Dichtefunktion f ist offensichtlich symmetrisch zur die y-Achse. Für k > 1 existiert der Erwartungswert von X und ergibt sich zu EX = 0, und für k > 2 existiert auch die Varianz von X und ergibt sich zu \begin{eqnarray}V(X)=\frac{k}{k-2}.\end{eqnarray}

Für k → ∞ geht die Studentsche t-Verteilung in die Standardnormalverteilung über. Ab k ≥ 30 kann die t-Verteilung durch die Standardnormalverteilung in guter Näherung approximiert werden. In der Praxis wird nicht mit der Dichteformel, sondern mit den Quantilen der t-Verteilung gearbeitet, die tabelliert vorliegen.

Die t-Verteilung liegt den sogenannten t-Tests zum Prüfen von Hypothesen über die Erwartungswerte normalverteilter Grundgesamtheiten zugrunde. Außerdem wird sie zur Bestimmung von Konfidenzintervallen für den Erwartungswert normalverteilter Grundgesamtheiten bei unbekannter Varianz verwendet.