Die Eulersche Gamma-Funktion ist sicherlich eine der wichtigsten Funktionen in der Mathematik. Sie wird heute mit Γ bezeichnet und ist eine in ℂ meromorphe Funktion mit der Eigenschaft Γ(n + 1) = n! für n ∈ ℕ. Die Motivation zur Definition der Γ-Funktion war, die Funktion n!, n ∈ ℕ auf reelle und sogar komplexe Argumente auszudehnen. Euler (1729) löst das Problem durch das unendliche Produkt \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(z+1):=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{z}{\left(1+\frac{1}{z}\right)}^{-1},\end{eqnarray} wobei er nur reelle Argumente betrachtet. Gauß (1811) läßt auch komplexe Argumente zu und gibt die Funktion \begin{eqnarray}{\rm{\Pi }}(z):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{n!{n}^{z}}{(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}\end{eqnarray} an. Es gilt Γ(z +1) = ∏(z). Weierstraß (1854) wählt den Kehrwert \begin{eqnarray}\begin{array}{llll}Fc(z)&:=&\frac{1}{{\rm{\Gamma }}(z)} & = & z\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{z}\left(1+\frac{z}{n}\right)\\ &&& = & z\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{z}{n}\right){e}^{-z\mathrm{log}\frac{n+1}{n}}\end{array}\end{eqnarray} als Ausgangspunkt der Theorie und nennt diese Funktion Factorielle. Die Bezeichnung Γ wurde von Legendre (1817) eingeführt.

Definition und grundlegende Eigenschaften

Wie bereits an der historischen Entwicklung sichtbar ist, gibt es mehrere Möglichkeiten der Definition der Γ-Funktion, die jedoch alle zum gleichen Ziel führen. Zum Beispiel kann man ähnlich wie Weierstraß mit der Funktion \begin{eqnarray}{\rm{\Delta }}(z):=z{e}^{\gamma z}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{z}{n}\right){e}^{-z/n},\end{eqnarray} wobei γ die Eulersche Konstante bezeichnet, starten. Es ist Δ eine ganze Funktion mit Nullstellen der Ordnung 1 an z = −n, n ∈ ℕ₀. Es gilt \begin{eqnarray}\overline{{\rm{\Delta }}(z)}={\rm{\Delta }}(\bar{z})\end{eqnarray} für z ∈ ℂ und Δ(x) > 0 für x > 0. Weiter erhält man \begin{eqnarray}{\rm{\Delta }}(1)=1,\space \space {\rm{\Delta }}(z)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{z(z+1)\cdots (z+n)}{n!{n}^{z}},\end{eqnarray} woraus sofort die Funktionalgleichung \begin{eqnarray}{\rm{\Delta }}(z)=z{\rm{\Delta }}(z+1)\end{eqnarray} folgt. Schließlich besteht noch ein Zusammenhang mit der Sinusfunktion, und zwar \begin{eqnarray}\pi \space {\rm{\Delta }}(z){\rm{\Delta }}(1-z)=\sin \pi z.\end{eqnarray}

Definiert man nun die Γ-Funktion durch \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(z):=\frac{1}{{\rm{\Delta }}(z)},\end{eqnarray} so erhält man sofort ihre wichtigsten Eigenschaften. Es ist Γ eine in ℂ meromorphe Funktion, sie besitzt keine Nullstellen, und sie hat Polstellen der Ordnung 1 an z = −n, n ∈ ℕ₀ mit Residuen\begin{eqnarray}\text{Res}\space ({\rm{\Gamma }},-n)=\frac{{(-1)}^{n}}{n!}.\end{eqnarray}

Aus der Definition folgt weiter \(\overline{{\rm{\Gamma }}(z)}={\rm{\Gamma }}(\bar{z})\) und Γ(x) > 0 für x > 0. Außerdem gilt \begin{eqnarray}|{\rm{\Gamma }}(x+iy)|\le {\rm{\Gamma }}(x)\end{eqnarray} für x > 0. Insbesondere ist Γ in jedem Vertikalstreifen \begin{eqnarray}\{z=x+iy\in {\mathbb{C}}:r\le x\le s\}\end{eqnarray} mit 0 < r< s< ∞ beschränkt.

Es gilt die Funktionalgleichung \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(1)=1,\space \space {\rm{\Gamma }}(z+1)=z{\rm{\Gamma }}(z).\end{eqnarray}

Hieraus folgt für n ∈ ℕ \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(z+n)=z(z+1)\cdots (z+n-1){\rm{\Gamma }}(z)\end{eqnarray} und speziell \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(n)=(n-1)!.\end{eqnarray}

Die Γ-Funktion ist also tatsächlich eine Fortsetzung der Fakultät. Man nennt sie daher manchmal auch verallgemeinerte Fakultät.

Der Eulersche Ergänzungssatz lautet n \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(z){\rm{\Gamma }}(1-z)=\frac{\pi }{\sin \pi z}.\end{eqnarray}

Für \(z = \frac{1}{2}\) ergibt sich hieraus die Eulersche Relation der Γ-Funktion \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }.\end{eqnarray}

Allgemeiner gilt für n ∈ ℕ₀\begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{{4}^{n}n!}\sqrt{\pi }.\end{eqnarray}

Weitere Folgerungen aus dem Ergänzungssatz sind \begin{array}{l}{\rm{\Gamma }}\left(\frac{1}{2}+z\right){\rm{\Gamma }}\left(\frac{1}{2}-z\right)=\frac{\pi }{\cos \pi z},\\ {\rm{\Gamma }}(z){\rm{\Gamma }}(-z)=-\frac{\pi }{z\sin \pi z}\end{array} und \begin{array}{l}{|{\rm{\Gamma }}(iy)|}^{2}=\frac{\pi }{y\sinh \pi y},\\ {|{\rm{\Gamma }}(\frac{1}{2}+iy)|}^{2}=\frac{\pi }{\cosh \pi y}.\end{array}

Schließlich gilt die Formel von Raabe (1843) \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{log}\space {\rm{\Gamma }}(t)dt=\mathrm{log}\sqrt{2\pi }.\end{eqnarray}

Produktdarstellungen

Aus der Definition der Γ-Funktion ergibt sich sofort die Weierstraßsche Produktdarstellung \begin{eqnarray}z{\rm{\Gamma }}(z)={e}^{-\gamma z}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\frac{{e}^{z/n}}{1+z/n}.\end{eqnarray}

Ebenso gilt die Eulersche Produktdarstellung \begin{eqnarray}z{\rm{\Gamma }}(z)=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{z}{\left(1+\frac{z}{n}\right)}^{-1}\end{eqnarray} und die Gaußsche Produktdarstellung (Gaußsche Produktformel) \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(z)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{n!{n}^{z}}{z(z+1)\cdots (z+n)},\end{eqnarray} woraus folgt \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{{\rm{\Gamma }}(z+n)}{{\rm{\Gamma }}(n){n}^{z}}=1.\end{eqnarray}

Logarithmische Ableitung

Die logarithmische Ableitung der Γ-Funktion ist definiert durch \begin{eqnarray}\psi :={{\rm{\Gamma }}}^{^{\prime} }/{\rm{\Gamma }}\end{eqnarray} und heißt auch Digamma-Funktion. Sie ist ebenfalls eine in ℂ meromorphe Funktion und erfüllt die Gleichungen \begin{eqnarray}\begin{array}{c}\psi (z+1)=\psi (z)+\frac{1}{z},\\ \psi (1-z)-\psi (z)=\pi \cot \pi z.\end{array}\end{eqnarray}

Die Partialbruchdarstellung der logarithmischen Ableitung der Γ-Funktion lautet \begin{eqnarray}\psi (z)=-\gamma -\frac{1}{z}-\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{z+n}-\frac{1}{n}\right).\end{eqnarray}

Hieraus erhält man Γ′(1) = ψ(1) = −γ und für k ∈ ℕ, k ≥ 2 \begin{eqnarray}\psi (z)=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{k-1}-\gamma.\end{eqnarray}

Für die Partialbruchdarstellung von ψ′ ergibt sich \begin{eqnarray}{\psi }^{^{\prime} }(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{{(z+n)}^{2}}.\end{eqnarray}

Die Funktion ψ und ihre Ableitungen ψ⁽ⁿ⁾, n ∈ ℕ heißen auch Polygamma-Funktionen. Speziell nennt man ψ′ auch Trigamma-Funktion und ψ″ Tetragamma-Funktion.

Logarithmus der Γ-Funktion

Da Γ in der geschlitzten Ebene ℂ⁻ := ℂ \ (−∞, 0] keine Nullstellen besitzt, existiert in ℂ⁻ ein holomorpher Logarithmus der Γ-Funktion log Γ mit log Γ(1) = 0. Da (log Γ)′ = ψ, folgt für z ∈ ℂ⁻. \begin{eqnarray}\mathrm{log}\space {\rm{\Gamma }}(z)=-\gamma z-\mathrm{log}\space z+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{z}{n}-\mathrm{log}\left(1+\frac{z}{n}\right)\right].\end{eqnarray}

Für x > 0 gilt \begin{eqnarray}{(\mathrm{log}\space {\rm{\Gamma }})}^{^{\prime\prime} }(z)={\psi }^{^{\prime} }(x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{{(x+n)}^{2}}\gt 0.\end{eqnarray}

Daher ist log Γ eine konvexe Funktion auf (0, ∞). Man nennt solche Funktionen auch logarithmisch konvex.

Die Taylor-Reihe von log Γ(z + 1) hat den Konvergenzradius 1 und lautet \begin{eqnarray}\mathrm{log}\space {\rm{\Gamma }}(z+1)=-\gamma z+\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{n}\zeta (n){z}^{n},\end{eqnarray} wobei ζ die Riemannsche ζ-Funktion bezeichnet. Für z = 1 ergibt sich speziell die Beziehung \begin{eqnarray}\gamma =\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{n}\zeta (n)\end{eqnarray} für die Eulersche Konstante γ.

Eindeutigkeitssätze

Auf den ersten Blick scheint die Fortsetzung der Funktion n!, n ∈ ℕ durch die Γ-Funktion willkürlich zu sein. Die folgenden Eindeutigkeitssätze zeigen jedoch, daß dies nicht der Fall ist.

Der Eindeutigkeitssatz von Wielandt (1939) lautet:

Es sei F eine in der rechten Halbebene H = {z ∈ ℂ : Re z > 0} holomorphe Funktion, die in dem Vertikalstreifen S = {z ∈ ℂ : 1 ≤ Re z< 2} beschränktist. Weiter gelte F(z + 1) = zF(z) für z ∈ H und F(1) = 1.

Dann ist F(z) = Γ(z) für z ∈ H.

Der Eindeutigkeitssatz von Bohr-Mollerup (1922) charakterisiert die reelle Γ-Funktion ohne Differenzierbarkeitsbedingungen mit Hilfe der logarithmischen Konvexität.

Es sei F: (0, ∞) → (0, ∞) eine auf (0, ∞) logarithmisch konvexe Funktion mit F(x + 1) = xF(x) für x > 0 und F(1) = 1.

Dann ist F(x) = Γ(x) für x > 0.

Aus dem Eindeutigkeitssatz von Wielandt erhält man die Multiplikationsformeln \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(z){\rm{\Gamma }}\left(z+\frac{1}{k}\right){\rm{\Gamma }}\left(z+\frac{2}{k}\right)\cdots {\rm{\Gamma }}\left(z+\frac{k-1}{k}\right)={(2\pi )}^{\frac{1}{2}(k-1)}{k}^{\frac{1}{2}-kz}{\rm{\Gamma }}(kz)\end{eqnarray} für k ∈ ℕ, k ≥ 2. Speziell ergibt sich für k = 2 die Legendresche Verdopplungsformel \begin{eqnarray}\sqrt{\pi }{\rm{\Gamma }}(2z)={2}^{2z-1}{\rm{\Gamma }}(z){\rm{\Gamma }}\left(z+\frac{1}{2}\right).\end{eqnarray}

Diese Formel führt zu einem weiteren Eindeutigkeitssatz.

Es sei F eine in ℂ meromorphe Funktion mit F(x) > 0 fürx > 0. Weiter gelte F(z + 1) = zF(z) und\begin{eqnarray}\sqrt{\pi }F(2z)={2}^{2z-1}F(z)F\left(z+\frac{1}{2}\right).\end{eqnarray}

Dann gilt F = Γ.

Aus den Multiplikationsformeln der Γ-Funktion erhält man noch die Multiplikationsformeln für die Sinus-Funktion. Für k ∈ ℕ, k ≥ 2 gilt \begin{array}{l}\sin k\pi z={2}^{k-1}\sin \pi z\sin \pi \left (z+\frac{1}{k}\right )\\ \quad \quad \quad \times \sin \pi \left(z+\frac{2}{k}\right)\cdots \sin \pi \left(z+\frac{k-1}{k}\right).\end{array}

Eulersche Integraldarstellung

Neben den Produktdarstellungen sind auch Integraldarstellungen der Γ-Funktion von Wichtigkeit. Für Re z > 0 gilt die Eulersche Integraldarstellung \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(z)=\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt.\end{eqnarray}

Dabei ist das uneigentliche Integral auf der rechten Seite in jedem Vertikalstreifen \begin{eqnarray}\{z\in {\mathbb{C}}:a\le \mathrm{Re}\space z\space \le b\}\end{eqnarray} mit 0 < a< b< ∞ gleichmäßig und absolut konvergent. Es heißt auch Eulersches Integral 2. Art. Mit Hilfe dieser Integraldarstellung lassen sich viele wichtige Integrale berechnen. Zum Beispiel erhält man für α > 0 \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-{x}^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha }{\rm{\Gamma }}\left(\frac{1}{\alpha }\right)\end{eqnarray} und speziell \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-{x}^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }.\end{eqnarray}

Durch partielle Integration und vollständige Induktion ergibt sich für n ∈ ℕ₀\begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{x}^{2n}{e}^{-{x}^{n}}dx=\frac{1}{2}{\rm{\Gamma }}\left(n+\frac{1}{2}\right).\end{eqnarray}

Außerdem erhält man aus der Eulerschen Integraldarstellung noch die Partialbruchdarstellung der Γ-Funktion \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{n!}\frac{1}{z+n}+\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt\end{eqnarray} für z ∈ ℂ\{0, −1, −2,…}.

Hankelsche Integraldarstellung

Die Eulersche Integraldarstellung hat den Nachteil, daß sie nur für Re z > 0 gilt. Hankel (1863) betrachtet das Integral \begin{eqnarray}h(z):=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }{w}^{-z}{e}^{w}dw,\end{eqnarray} wobei über den in der Abbildung dargestellten „uneigentlichen Schleifenweg“ γ ≔ γ₁ + δ + γ₂ integriert wird. Die Funktion h ist eine ganze Funktion,

und man nennt sie heute Hankelsches Schleifenintegral. Es gelten dann die Hankelschen Formeln \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}\frac{1}{{\rm{\Gamma }}(z)} & = & \frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }{w}^{-z}{e}^{w}dw,\space z\in {\mathbb{C}},\\ {\rm{\Gamma }}(z) & = & \frac{1}{2i\sin \pi z}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }{w}^{z-1}{e}^{w}dw,\space \space z\in {\mathbb{C}}\backslash (-{{\mathbb{N}}}_{0}).\end{array}\end{eqnarray}

Die zweite Formel heißt Hankelsche Integraldarstellung der Γ-Funktion.

Stirlingsche Formel und Gudermannsche Reihe

Für Anwendungen und numerische Zwecke ist es nützlich, das Wachstum der Γ-Funktion zu kennen. <?PageNum _98Dazu approximiert man Γ in der geschlitzten Ebene ℂ⁻ durch „einfachere“ Funktionen. Setzt man \begin{eqnarray}\mu (z):=\mathrm{log}\space {\rm{\Gamma }}(z)-\left(z-\frac{1}{2}\right)\mathrm{log}\space z+z-\frac{1}{2}\mathrm{log}\space 2\pi, \end{eqnarray} so ist μ holomorph in ℂ⁻, und es gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\rm{\Gamma }}(z)=\sqrt{2\pi }{z}^{z-\frac{1}{2}}{e}^{-z}{e}^{\mu (z)}. & (\mathrm{ST})\end{array}\end{eqnarray}

Auf den ersten Blick erscheint diese Gleichung nutzlos, da μ mit Hilfe von Γ definiert wurde. Aber man kann zeigen, das \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{z\to \infty }\mu (z)=0\) gleichmasig in jedem Winkelraum \begin{eqnarray}{W}_{\delta }:=\{z=r{e}^{i\varphi }\in {\mathbb{C}}:r\gt 0,\space \space |\varphi |\le \pi -\delta \},\end{eqnarray} 0 < δ ≤ π. Genauer gilt sogar \begin{eqnarray}|\mu (z)|\le \frac{1}{12}\frac{1}{{\sin }^{2}\frac{\delta }{2}}\frac{1}{|z|},\quad z\in {W}_{\delta }.\end{eqnarray}

Die Formel (ST) heißt allgemeine Stirlingsche Formel. Sie wird häufig auch in der asymptotischen Form \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(z)\sim \sqrt{2\pi }{z}^{z-\frac{1}{2}}{e}^{-z}\end{eqnarray} oder \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(z+1)\sim \sqrt{2\pi }z{\left(\frac{z}{e}\right)}^{z}\end{eqnarray} geschrieben, wobei das Zeichen ∼ bedeutet, daß der Quotient aus linker und rechter Seite in jedem Winkelraum W_δ für z → ∞ gleichmäßig gegen 1 konvergiert. Im Reellen schreibt sich (ST) in der Form \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(x+1)=\sqrt{2\pi x}{\left(\frac{x}{e}\right)}^{x}{e}^{\vartheta (x)/(12x)},\quad x\gt 0,\end{eqnarray} wobei 0 ≤ ϑ(x) < 1,

Setzt man speziell x = n ∈ ℕ, so ergibt sich die klassische Stirlingsche Formel \begin{eqnarray}n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^{n}{e}^{\vartheta (n)/(12n)}\end{eqnarray} mit 0 < ϑ(n) < 1. Aus der Stirlingschen Formel (ST) folgt noch, das |Γ(x + iy)| für |y| → ∞ exponentiell gegen Null geht. Genauer gilt für festes x ∈ ℝ \begin{eqnarray}|{\rm{\Gamma }}(x+iy)|\sim \sqrt{2\pi }{|y|}^{x-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{\pi }{2}|y|},\space \space |y|\to \infty.\end{eqnarray}

Schließlich kann die Funktion μ durch die Gudermannsche Reihe dargestellt werden. Es gilt \begin{eqnarray}\mu (z)=\displaystyle \sum _{n=0.}^{\infty }\left[\left(z+n+\frac{1}{2}\right)\mathrm{log}\left(1+\frac{1}{z+n}\right)-1\right],\end{eqnarray} wobei die Reihe in ℂ⁻ normal konvergiert.

Unvollständige Γ-Funktion

Für ϱ ∈ ℂ, ϱ ≠ 0 sei \begin{eqnarray}Q(z,\varrho ):=\displaystyle \underset{\varrho }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-t}{t}^{z-1}dt.\end{eqnarray}

Dabei ist der Integrationsweg so zu wählen, daß er nicht durch den Nullpunkt verläuft und \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to \infty }\space \arg \space t\space =\space \beta \) mit \(|\beta |\space \lt \space \frac{\pi }{2}\) erfüllt. Dann ist Q(·, ϱ) eine ganze Funktion. Weiter sei \begin{eqnarray}P(z,\varrho ):={\rm{\Gamma }}(z)-Q(z,\varrho ).\end{eqnarray}

Diese Funktion heißt unvollständige Γ-Funktion. oder P-Funktion. Sie ist eine in ℂ meromorphe Funktion mit denselben Polstellen und Residuen wie Γ. Die Funktion Q(·, ϱ) heißt komplementäre unvollständige Γ-Funktion oder Q-Funktion. Für festes z = n ∈ ℕ sind P(n, ·) und Q(n, ·) ganze Funktionen (von ϱ), und es gilt \begin{eqnarray}P(n,\varrho )=(n-1)!{e}^{-\varrho }\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }\frac{{\varrho }^{k}}{k!},\\ Q(n,\varrho )=(n-1)!{e}^{-\varrho }\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\frac{{\varrho }^{k}}{k!}.\end{eqnarray}