Lexikon der Mathematik: ganze Funktion
ganze analytische Funktion, eine in der ganzen komplexen Ebene ℂ holomorphe Funktion.
Ist f eine ganze Funktion, so ist die Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt 0
Falls es ein N ∈ ℕ0 gibt derart, daß an = 0 für alle n >N, so heißt f eine ganzrationale Funktion oder ein Polynom. Ist N ≥ 1 und aN ≠ 0, so ist ∞ eine Polstelle von f der Ordnung N. Gilt an ≠ 0 für unendlich viele n, so heißt f eine ganz transzendente Funktion. In diesem Fall ist ∞ eine wesentliche Singularität von f.
Wichtige Beispiele für ganz transzendente Funktionen sind die Exponentialfunktion, die Cosinusfunktion und die Sinusfunktion.
Ganze Funktionen werden in Wachstumsklassen eingeteilt. Dazu sei für eine ganze Funktion f und r > 0
- f(z) = ezn, n ∈ ℕ ⇒ ϱ (f) = n.
- f(z) = cos z ⇒ ϱ(f) = 1.
- f(z) = sin z ⇒ ϱ(f) = 1.
- \(f(z)=\cos \sqrt{z}\Rightarrow \varrho(f)=\frac{1}{2}\).
- f(z) = eez ⇒ ϱ(f) = ∞.
Sind f und g ganze Funktionen, so gilt
Die Ordnung einer ganzen Funktion f kann mit Hilfe der Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt 0 berechnet werden. Ist \(f(z) = \sum\nolimits_{n = 0}^\infty {{a_n}{z^n}} \), so gilt
Ist jedoch 0 < ϱ(f) < ∞ und ϱ(f)∉ ℕ, so besitzt f unendlich viele Nullstellen. Ersetzt man f durch f − a mit a ∈ ℂ, so folgt, daß in diesem Fall f jeden Wert a ∈ ℂ unendlich oft annimmt. Dies gilt auch für ganz transzendente Funktionen der Ordnung 0.
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