Im Jahr 1779 hat der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler seinen Kollegen eine Aufgabe gestellt, die inzwischen berühmt geworden ist: Man stelle sich vor, es gebe sechs Armeeregimenter mit jeweils sechs Offizieren, die je sechs verschiedene Dienstgrade haben. Lassen sich die 36 Offiziere in einem Quadrat aus sechs mal sechs Feldern so anordnen, dass sich in keiner Zeile oder Spalte ein Rang oder Regiment wiederholt?

Das Rätsel ist leicht zu lösen, wenn es fünf Dienstgrade und fünf Regimenter oder sieben Dienstgrade und sieben Regimenter gibt. Nachdem er jedoch vergeblich nach einer Lösung für den Fall von 36 Offizieren gesucht hatte, kam Euler zu dem Schluss, dass »eine solche Anordnung unmöglich ist, auch wenn wir keinen wirklichen Beweis dafür erbringen können«. Mehr als ein Jahrhundert später bewies der französische Mathematiker Gaston Tarry, dass es in der Tat keine Möglichkeit gibt, Eulers 36 Offiziere in einem Sechs-mal-sechs-Quadrat ohne Wiederholung anzuordnen. 1960 wiesen Mathematiker mit Hilfe von Computern nach, dass es für jede Anzahl von Regimentern und Dienstgraden, die größer als zwei ist, eine Lösung gibt – seltsamerweise mit Ausnahme von sechs.

Ähnliche Rätsel ziehen die Menschen seit mehr als 2000 Jahren in ihren Bann. Verschiedene Kulturen haben »magische Quadrate« geschaffen – Anordnungen von Zahlen, die in jeder Zeile und Spalte die gleiche Summe ergeben – oder »lateinische Quadrate«, die mit Symbolen gefüllt sind, die in jeder Zeile und Spalte einmal vorkommen. Diese Quadrate wurden in der Kunst, in der Stadtplanung und einfach zum Spaß verwendet. Ein beliebtes lateinisches Quadrat – Sudoku – hat Unterquadrate, die ebenfalls keine sich wiederholenden Symbole enthalten. Das 36-Offiziere-Rätsel von Euler verlangt nach einem »orthogonalen lateinischen Quadrat«, bei dem zwei Gruppen von Eigenschaften – in diesem Fall Ränge und Regimenter – gleichzeitig die Regeln des lateinischen Quadrats erfüllen.

Bis jetzt schien sich die Welt der Mathematik einig zu sein, dass es ein solches Sechs-mal-sechs-Quadrat nicht gibt. Aber das hat sich kürzlich geändert. In einem Artikel, der online veröffentlicht und bei »Physical Review Letters« eingereicht wurde, haben Quantenphysiker gezeigt, dass sich 36 Offiziere so anordnen lassen, dass Eulers Kriterien erfüllt werden – solange die Ränge und Regimenter der Offiziere den Regeln der Quantenmechanik folgen.

Das Ergebnis ist das jüngste in einer Reihe von Arbeiten, die Quantenversionen von magischen und lateinischen Quadraten entwickelt haben. Doch das dient nicht nur der Unterhaltung – diese Arbeiten ermöglichen Anwendungen in der Quantenkommunikation und dem Quantencomputing.

Roter König und orangefarbene Dame

Die neue Ära von Quantenrätseln begann 2016, als Jamie Vicary von der University of Cambridge und sein damaliger Student Ben Musto die Idee hatten, die Einträge in lateinischen Quadraten als Quanten zu betrachten. In der Quantenmechanik können Objekte wie Elektronen eine Überlagerung mehrerer Zustände annehmen: sich etwa an zwei Orten gleichzeitig befinden oder magnetisch sowohl nach oben als auch nach unten ausgerichtet sein. Quantenobjekte bleiben in dieser Schwebe, bis sie gemessen werden. Erst dann sind sie auf einen der möglichen Zustände festgelegt. Einträge von lateinischen Quantenquadraten sind ebenfalls Quantenzustände, die überlagert sein können.

Mathematisch lässt sich ein Quantenzustand durch einen Vektor darstellen, der wie ein Pfeil eine Länge und eine Richtung besitzt. Eine Überlagerung ergibt sich aus dem Pfeil, den die Kombination mehrerer Vektoren bildet. Analog zu der Anforderung, dass sich die Symbole in jeder Zeile und Spalte eines lateinischen Quadrats nicht wiederholen dürfen, müssen die Quantenzustände in jeder Zeile oder Spalte eines lateinischen Quantenquadrats Vektoren entsprechen, die senkrecht zueinander stehen.

Für lateinische Quantenquadrate konnte sich vor allem eine Gruppe begeistern: theoretische Physikerinnen und Physiker, die gemeinsam mit Fachleuten aus der Mathematik deren ungewöhnliche Eigenschaften untersuchen. 2021 haben die mathematischen Physiker Ion Nechita und Jordi Pillet eine Quantenversion von Sudoku entwickelt: SudoQ. Anstatt die ganzen Zahlen von null bis neun zu verwenden, haben bei SudoQ die Zeilen, Spalten und Unterquadrate jeweils neun senkrechte Vektoren.

Überlagerung und Verschränkung machen das Rätsel spannend

Diese Fortschritte begeisterten Adam Burchardt von der Jagiellonen-Universität in Polen und motivierten ihn und seine Kollegen dazu, Eulers altes Rätsel über die 36 Offiziere erneut zu untersuchen. Was wäre, so fragten sie sich, wenn Eulers Offiziere zu Quanten würden? In der klassischen Version des Problems entspricht jeder Eintrag einem Offizier mit einem genau definierten Rang und Regiment. Es ist hilfreich, sich die 36 Offiziere als bunte Schachfiguren vorzustellen, deren Rang König, Dame, Turm, Läufer, Springer oder Bauer sein kann und deren Regiment durch Rot, Orange, Gelb, Grün, Blau oder Violett dargestellt wird. In der Quantenversion werden die Offiziere jedoch aus Überlagerungen von Rängen und Regimentern gebildet. Ein Offizier könnte beispielsweise eine Überlagerung aus einem roten König und einer orangefarbenen Dame sein.

Die zweite entscheidende Eigenschaft von Quanten ist eine besondere Beziehung zueinander, eine so genannte Verschränkung, die eine Korrelation zwischen verschiedenen Eigenschaften darstellt. Wenn etwa ein roter König mit einer orangefarbenen Königin verschränkt ist, dann kann man allein aus der Beobachtung, dass der König rot ist, sofort schließen, dass die Königin orange ist – selbst wenn sich König und Königin in Überlagerung mehrerer Regimenter befinden. Die ungewöhnliche Natur der Verschränkung ermöglicht es, dass die Offiziere entlang einer Linie alle senkrecht zueinander stehen können.

In der Theorie scheint die Quantenversion von Eulers Rätsel lösbar, aber um sie zu beweisen, mussten die Autoren ein Gitter aus sechs mal sechs Feldern konstruieren, das mit Quantenoffizieren gefüllt war. Um die vielen möglichen Konfigurationen und Verschränkungen in den Griff zu bekommen, entwickelten die Forschenden einen Algorithmus. Sie setzten zunächst eine klassische Beinahe-Lösung ein (eine Anordnung von 36 klassischen Offizieren mit nur wenigen Wiederholungen von Rängen und Regimentern in einer Reihe oder Spalte) und verwendeten dann den Algorithmus, der die Anordnung in eine echte Quantenlösung überführen sollte.

Ein Algorithmus optimiert in Richtung Lösung

Ein solcher Algorithmus funktioniert ein bisschen so, wie wenn man einen Rubik's Cube höchst ineffizient löst und zunächst die erste Reihe festlegt, dann die erste Spalte, dann die zweite Spalte und so weiter. Indem die Fachleute den Algorithmus wieder und wieder auf das Rätsel losließen, näherte sich das System immer mehr einer Lösung an. Schließlich erreichten die Forscher einen Punkt, an dem sie das Muster erkennen und die wenigen verbleibenden Einträge direkt bestimmen konnten.

Damit haben sie Euler in gewisser Weise eines Besseren belehrt – auch wenn er im 18. Jahrhundert nichts von Quantenoffizieren wissen konnte. Eine überraschende Eigenschaft ihrer Lösung ist, dass Offiziersreihen nur mit benachbarten Reihen (Könige mit Damen, Türme mit Läufern, Springer mit Bauern) und Regimenter mit benachbarten Regimentern verschränkt sind, erklärt Mitautor Suhail Rather vom Indian Institute of Technology Madras in Chennai. Eine weitere Überraschung waren die Koeffizienten, die in den Einträgen des Quantenquadrats erscheinen. Koeffizienten sind Zahlen, die im Wesentlichen angeben, welche Gewichtung man den verschiedenen Termen in einer Überlagerung geben muss. Interessanterweise war das Verhältnis der vom Algorithmus berechneten Koeffizienten gleich φ oder 1,618…, der berühmte goldene Schnitt.

Maximale Verschränkung und der goldene Schnitt

Die Lösung ist zudem ein »absolut maximal verschränkter Zustand« (AME). Diese bestimmte Anordnung von Quantenobjekten ist für eine Reihe von Anwendungen wichtig, darunter für die Quantenfehlerkorrektur, die es ermöglicht, Informationen in Quantencomputern redundant zu speichern, damit sie auch bei einer Datenverfälschung erhalten bleiben. In einer AME sind die Korrelationen zwischen den Messungen von Quantenobjekten so stark wie möglich: Wenn Alice und Bob verschränkte Münzen haben und Alice ihre Münze wirft und Kopf erhält, weiß sie mit Sicherheit, dass Bob Zahl hat – und umgekehrt. Zwei Münzen können maximal verschränkt sein, ebenso wie drei, aber nicht vier: Wenn Carol und Dave beim Münzwurf mitmachen, kann Alice nie sicher sein, was Bob bekommt.

Die aktuelle Arbeit beweist nebenbei auch, dass ein Satz von vier verschränkten Würfeln (an Stelle von Münzen) durchaus maximal verschränkt werden kann. Denn die Anordnung der sechsseitigen Würfel entspricht dem lateinischen Sechs-mal-sechs-Quantenquadrat. Da der goldene Schnitt in ihrer Lösung vorkommt, haben die Forscher die Konfiguration als »goldenen AME« bezeichnet.

Fachleute haben bereits andere AMEs entwickelt, indem sie bekannte, klassische fehlerkorrigierende Codes nahmen und analoge Quantenversionen entwarfen. Doch der neu entdeckte goldene AME ist anders, er hat kein klassisches kryptografisches Analogon. Burchardt vermutet, dass er der Erste einer neuen Klasse von Quantenfehlerkorrekturcodes sein könnte. Gleichzeitig könnte es natürlich genauso interessant sein, wenn der goldene AME einzigartig bleibt.

Von »Spektrum der Wissenschaft« übersetzte und bearbeitete Fassung des Artikels »Euler's 243-Year-Old ›Impossible‹ Puzzle Gets a Quantum Solution« aus »Quanta Magazine«, einem inhaltlich unabhängigen Magazin der Simons Foundation, die sich die Verbreitung von Forschungsergebnissen aus Mathematik und den Naturwissenschaften zum Ziel gesetzt hat.