Sind zwei verschiedene Varianten von Unendlichkeit gleich groß? Jahrzehntelang war die gängige Meinung unter Zahlenforschern, dass dies nicht der Fall ist. Doch inzwischen hat ein Mathematikerduo genau das bewiesen. Was verblüffend klingt, berührt eines der bekanntesten und hartnäckigsten Probleme der Mathematik: die Frage, ob es Unendlichkeiten gibt, die zwischen der unvorstellbar großen Gesamtheit der natürlichen Zahlen und der noch größeren Unendlichkeit der reellen Zahlen liegen.

Das Problem tauchte erstmals vor mehr als einem Jahrhundert auf. Damals wussten Mathematiker bereits, dass »die reellen Zahlen größer sind als die natürlichen Zahlen, aber nicht, wie viel größer«, wie Maryanthe Malliaris der University of Chicago berichtet. »Aber handelt es sich um die nächstgrößere Größe oder gibt es noch eine Größe dazwischen?«

Malliaris hat sich für diese Frage mit Saharon Shelah zusammengetan, die an der Hebräischen Universität in Jerusalem und an der Rutgers University forscht. In ihrer Arbeit beantworten die beiden die 70 Jahre alte Frage, ob eine Unendlichkeit namens p kleiner ist als eine andere Unendlichkeit namens t.

»Ich ging, wie viele andere meiner Kollegen, fest davon aus, dass p kleiner sein muss als t«, sagt Shelah. Malliaris und Shelah haben ihren Beweis, dass beide Größen gleich sind, 2016 im »Journal of the American Mathematical Society« veröffentlicht. Dafür erhielten sie im Juli 2017 eine der höchsten Auszeichnungen auf dem Gebiet der Mengenlehre. Doch ihre Arbeit dreht sich nicht nur darum, wie zwei Unendlichkeiten miteinander zusammenhängen. Sie geht weit darüber hinaus: In ihrer Veröffentlichung verbinden Malliaris und Shelah zwei bisher unabhängige Teilbereiche der Mathematik.

Viele Unendlichkeiten

Allein der Begriff der Unendlichkeit ist komplex. Doch die Vorstellung, dass Unendlichkeiten unterschiedlich groß sein können, ist die vielleicht kontraintuitivste mathematische Entdeckung, die je gemacht wurde. Allerdings ergibt sie sich aus einer simplen Überlegung, die selbst Kinder nachvollziehen können.

Nehmen wir an, es gäbe zwei verschiedene Objektgruppen (oder zwei Mengen, wie Mathematiker sagen): eine Menge Autos und eine Menge Fahrer. Wenn es genau einen Fahrer für jedes Auto gibt und weder leere Autos noch einzelne Fahrer übrig bleiben, dann gibt es genauso viele Autos wie Fahrer – selbst wenn wir die genaue Anzahl an Fahrern und Autos nicht kennen.

Im späten 19. Jahrhundert übertrug der deutsche Mathematiker Georg Cantor dieses Gedankenspiel in die Mathematik. Er bewies, dass zwei Mengen die gleiche Größe (Mathematiker sprechen von »Mächtigkeit«) haben, wenn es eine Eins-zu-eins-Übereinstimmung zwischen ihnen gibt – wenn es also genau einen Fahrer pro Auto gibt. Überraschenderweise zeigte er, dass dieser Ansatz auch für unendlich große Mengen funktioniert.

Die Menge der natürlichen Zahlen (1, 2, 3, 4, ...) ist unendlich groß. Doch was ist mit den geraden Zahlen (2, 4, 6, 8, ...) oder den Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, ...)? Jede dieser Mengen wirkt auf den ersten Blick kleiner als die natürlichen Zahlen. Und tatsächlich, auf einem endlichen Zahlenstrahl gibt es nur halb so viele gerade Zahlen wie natürliche Zahlen, und noch weniger Primzahlen.

Unendliche Mengen überraschen

Allerdings verhalten sich unendliche Mengen völlig anders als endliche. Cantor zeigte, dass es eine Eins-zu-eins-Übereinstimmung zwischen den Elementen jeder dieser unendlichen Mengen gibt:

1   2   3   4   5   ...   (natürliche Zahlen)
2   4   6   8   10  ...   (gerade Zahlen)
2   3   5   7   11  ...   (Primzahlen)

Deshalb folgerte Cantor, dass alle drei Mengen gleich groß sind. Mathematiker nennen Mengen dieser Größe »abzählbar«, da man jedem ihrer Elemente eine Laufnummer zuweisen kann: Man kann sie zählen, auch wenn es unendlich lange dauert.

Reelle Zahlen sind anders

Anders sieht es bei den reellen Zahlen aus. Sie entsprechen allen Punkten auf einem Zahlenstrahl und werden deshalb manchmal als »Kontinuum« bezeichnet. Es gibt nämlich keinen freien Raum zwischen einer reellen Zahl und der darauf folgenden, man findet immer noch eine weitere Zahl zwischen ihnen.

Cantor konnte zeigen, dass es keine Eins-zu-eins-Übereinstimmung zwischen den reellen Zahlen und den natürlichen Zahlen gibt: Selbst wenn man eine unendliche Liste natürlicher Zahlen anfertigt, die mit der der reellen Zahlen gepaart ist, kann man eine weitere reelle Zahl finden, die sich nicht auf dieser Liste befindet. Deshalb ist die Menge der reellen Zahlen größer als die der natürlichen Zahlen. Das war die Geburtsstunde einer zweiten Art von Unendlichkeit: des überabzählbar Unendlichen.

Cantor konnte aber nicht herausfinden, ob es weitere Unendlichkeiten gab – eine, die zwischen den abzählbaren natürlichen Zahlen und den überabzählbaren reellen Zahlen lag. Er vermutete, dass es keine solcher mittleren Unendlichkeiten gibt. Diese Vermutung ist als Kontinuumshypothese bekannt und galt lange als eines der größten offenen mathematischen Rätsel.

Eine unbeweisbare Vermutung?

Im Jahr 1900 erstellte der deutsche Mathematiker David Hilbert eine Liste der 23 wichtigsten Probleme der Mathematik. Die Kontinuumshypothese setzte er dabei an die erste Stelle. »Es wirkte wie eine sehr wichtige Frage«, sagt Malliaris. Trotz vieler Anstrengungen gelang es im vergangenen Jahrhundert niemandem, sie zu beantworten. Existieren mittlere Unendlichkeiten? Wir werden es vielleicht niemals erfahren.

Während der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts versuchten Mathematiker, die Kontinuumshypothese zu lösen, indem sie unzählige Mengen studierten, die in den verschiedensten Bereichen der Mathematik auftauchten. Sie hofften, dass sie durch den Vergleich von Unendlichkeiten eine Zahl finden könnten, die größer als die Anzahl der natürlichen Zahlen, aber kleiner als die der reellen Zahlen sein würde und so die Kontinuumshypothese widerlegen würde.

Viele dieser Vergleiche waren sehr schwer zu handhaben. In den 1960er Jahren lieferte der Mathematiker Paul Cohen die Erklärung für diese Komplikationen. Cohen entwickelte eine Methode namens »Forcing«, die zeigte, dass die Kontinuumshypothese nicht von den Gesetzen der Mengenlehre abhängt – und somit nicht durch die Mengenlehre bewiesen werden kann. Cohens Methode vervollständigte Kurt Gödels Arbeit, in der er 1940 zeigte, dass die Kontinuumshypothese durch die mathematischen Gesetze auch nicht widerlegt werden kann. Dies war ein herber Rückschlag für die Mathematiker: Sie würden nie erfahren, ob die Kontinuumshypothese wahr oder falsch ist. Sie könnten sie als wahr oder falsch annehmen, und in beiden Fällen würde die Mathematik zu keinerlei Widersprüchen führen.

Cohen gewann für seine Arbeit im Jahr 1966 die Fields-Medaille, eine der höchsten mathematischen Auszeichnungen. Wissenschaftler nutzten in den folgenden Jahren seine Forcing-Methode, um die bis dahin ungelösten Vergleiche von Unendlichkeiten zu untersuchen. So wiesen sie nach, dass viele dieser Vergleiche dasselbe Problem besaßen wie die Kontinuumshypothese: Es war unmöglich, sie anhand mathematischer Gesetze zu beweisen.

Rückkehr zu p und t

Einige Fragestellungen blieben allerdings offen, beispielsweise ob p und t gleich sind. Sowohl p als auch t sind Unendlichkeiten, die der minimalen Größe einer Sammlung von Teilmengen der natürlichen Zahlen mit bestimmten Eigenschaften entsprechen.

Die genaue Definition beider Größen ist sehr kompliziert und für das Verständnis des Problems nicht zwingend notwendig. Mathematiker wussten, dass p und t größer als die Anzahl der natürlichen Zahlen sind. Zusätzlich musste p kleiner – oder gleich – t sein. Falls p kleiner wäre als t, würde eine mittlere Unendlichkeit existieren – etwas, was größer ist als die natürlichen Zahlen, aber kleiner als die reellen Zahlen. Die Kontinuumshypothese wäre falsch. Wie Cohen und Gödel aber zeigten, ist das nicht beweisbar. Also blieben nur zwei Möglichkeiten: Entweder gibt es einen Beweis, dass p und t gleich sind – oder ihr Verhältnis zueinander wäre ebenfalls nicht beweisbar.

Fast alle Mathematiker erwarteten, dass das Verhältnis von p und t nicht bestimmbar sei. Dafür hätten sie zeigen müssen, dass das Problem nicht von den mathematischen Gesetzen abhängt. Doch das gelang ihnen nicht. Der Vergleich von p und t blieb über die nächsten Jahrzehnte ungelöst. Malliaris und Shelah stießen auf die Lösung dieses Problems, als sie nach etwas völlig anderem suchten.

Ein Maß der Komplexität

Zur gleichen Zeit, als Paul Cohen die Kontinuumshypothese aus der überprüfbaren Mathematik verbannte, entwickelte Howard Jerome Keisler eine neue Methode im mathematischen Bereich der Modelltheorie.

Für einen Modelltheoretiker ist eine Theorie nur eine Menge an Axiomen oder Regeln, die einen Bereich der Mathematik definieren. Die Modelltheorie klassifiziert mathematische Theorien – sie untersucht die Wurzeln der Mathematik. »Meiner Meinung nach interessieren sich Menschen für die Kategorisierung von Theorien, weil sie verstehen möchten, was bestimmte Dinge in sehr unterschiedlichen Bereichen der Mathematik auslösen«, sagt Keisler, emeritierter Professor für Mathematik an der University of Wisconsin in Madison.

1967 führte er die nach ihm benannte »Keisler-Ordnung« ein, die verschiedene mathematische Theorien nach ihrer Komplexität einstuft. Er schlug eine Methode vor, um Komplexitäten zu messen und konnte beweisen, dass mathematische Theorien in mindestens zwei Klassen eingeteilt werden können: in minimal und maximal komplexe Theorien. »Das war ein guter Start, doch mein Gefühl sagte mir, dass es unendlich viele Komplexitätsklassen geben musste«, so Keisler.

Wodurch zeichnet sich eine komplexe Theorie aus? Dies ist keine einfache Frage und immer noch aktueller Forschungsgegenstand. Keisler beschreibt die Komplexität einer Theorie durch die Reichweite von dem, was in der Theorie passieren kann – Theorien, in denen mehr passieren kann, sind komplexer als solche, in denen kaum etwas geschieht.

Etwas mehr als ein Jahrzehnt nachdem Keisler seine Ordnung einführte, veröffentlichte Shelah ein Buch, in dem er zeigte, dass es eine Abgrenzung zwischen den Komplexitätsklassen gibt – wie eine Trennlinie, die komplexere Theorien von einfacheren separiert. In den folgenden 30 Jahren gab es allerdings kaum noch Fortschritte auf diesem Gebiet.

Comeback der Keisler-Ordnung

Doch 2009 erlebte die Keisler-Ordnung ihr Comeback: Malliaris studierte während ihrer Doktorarbeit und ihrer darauffolgenden Veröffentlichungen Keislers Arbeiten. 2011 begannen sie und Shelah auf diesem Gebiet zusammenzuarbeiten. Sie wollten beispielsweise verstehen, was eine einfache Theorie in eine maximal komplexe Theorie verwandelt: Welche Eigenschaften machen Theorien komplex?

Sie wussten damals schon, dass geordnete mathematische Theorien maximal komplex waren. Beinhalten Theorien also so etwas wie ein Größer- oder Kleiner-als-Zeichen, sind sie maximal komplex. Malliaris und Shelah wollten herausfinden, ob eine abgeschwächte Art von Ordnung auch dazu führt, dass eine Theorie maximal komplex wird.

Unendlich viele Komplexitätsstufen

Im Lauf ihrer Forschungen stellten Malliaris und Shelah einen ungeahnten Zusammenhang fest: Sind sowohl Ordnung als auch ihre abgeschwächte Variante maximal komplex, würde das auch bedeuten, dass p und t gleich sind. So zeigten sie, dass zwei verschiedene Bereiche der Mathematik viel enger zusammenhängen als bisher angenommen.

2016 veröffentlichten Malliaris und Shelah eine 60-seitige Abhandlung, die beide Probleme löste: Sie bewiesen, dass beide Ordnungseigenschaften gleich komplex sind, und dass p und t übereinstimmen. In einer weiteren Arbeit zeigten sie auch, dass Keislers Ordnung nicht nur zwei, sondern – wie Keisler schon ahnte – unendlich viele Komplexitätsstufen besitzt. »Irgendwie führte plötzlich eins zum anderen«, sagt Malliaris. »Wir schafften es, viele verschiedene Probleme zu lösen.«

Vergangenen Juli erhielten Malliaris und Shelah die Hausdorff-Medaille, einen der bedeutendsten Preise im Bereich der Mengenlehre. Diese Ehre spiegelt ihren unerwarteten und mächtigen Beweis wider. Die meisten Mathematiker hatten erwartet, dass p kleiner sein würde als t und ihr Verhältnis zueinander somit nicht beweisbar wäre. Doch Malliaris und Shelah bewiesen: Beide Unendlichkeiten sind gleich groß. Ihre Arbeit zeigte aber auch, dass diese Fragestellung viel mehr Tiefe besitzt, als Mathematiker vermutet haben.

Brückenschlag zwischen den Forschungsgebieten

»Fast jeder ging davon aus, dass ein Beweis über die Gleichheit von p und t zwar überraschend wäre, aber auf einem kurzen und cleveren Argument basieren würde statt auf einer komplizierten Methode«, bemerkt Justin Moore, Mathematiker an der Cornell University.

Stattdessen bewiesen Malliaris und Shelah, dass p und t gleich sind, indem sie einen bisher unbekannten Zusammenhang zwischen der Modelltheorie und der Mengenlehre aufzeigten. Dieser dürfte spannende neue Möglichkeiten in beiden Bereichen eröffnen. Mit der Arbeit erübrigt sich außerdem eine Frage, von der Mathematiker hofften, sie könnte zur Lösung der Kontinuumshypothese beitragen. Nach wie vor gehen fast alle Experten davon aus, dass die unbeweisbare Vermutung falsch ist: Es wäre doch sehr ungewöhnlich, wenn es nur die zwei Größen an Unendlichkeiten gäbe, die bisher gefunden wurden.