Zufall oder System?

News: Zufall oder System?

Die irrationale Zahl Pi faszinierte die Menschen bereits im Altertum. So gelang schon Archimedes im dritten Jahrhundert vor Christus eine sehr gute Näherung der Zahl. Im Laufe der Jahrhunderte kamen weitere und bessere Approximationsverfahren hinzu, und seit Computer zur Verfügung stehen, kennt man Pi auf mehrere Milliarden Stellen genau - und doch bleiben immer noch unendlich viele übrig. Die bekannten Ziffern sind dabei zufällig aber statistisch gleich verteilt, ob das allerdings für alle Stellen von Pi gilt, konnte bislang noch niemand beweisen. Nun haben zwei Mathematiker eine Idee, wie sich das Problem anpacken lässt.

Thorsten Krome

Das Problem ist alt: Wie verhält sich die Fläche eines Kreises zum Quadrat seines Radius? Die Proportionalitätskonstante ist Pi – doch was ist Pi? Denn wie auch immer man das Problem geometrisch versucht zu lösen, so stellt man doch fest, dass es einem nur gelingt, eine Näherung der Zahl anzugeben. Das mussten auch schon die alten Griechen feststellen, und so näherte Archimedes Pi mit einem ein- und einem umbeschriebenen 96-Eck in und um einen Kreis immerhin so genau, dass die beiden Schranken nur um 0,002 voneinander abwichen – für die damalige Zeit mehr als ausreichend.

Heute ist man da weiter. Es ist bekannt, dass Pi zu den so genannten irrationalen Zahlen gehört, also zu der Zahlengruppe, die sich nicht als ein Bruch von zwei natürlichen Zahlen darstellen lässt. So setzt sich die Zahl bis in die Unendlichkeit fort, ohne dass man irgendwo ein Ende der Ziffernfolge erreichen würde. Mit Hilfe von Computern gelang es immerhin, mehrere Milliarden Stellen von Pi zu bestimmen, und es zeigte sich, dass sich die Zahl auf den ersten sechs Milliarden Stellen "normal" verhält.

"Normal" heißt nun, dass die einzelnen Ziffern statistisch gleichmäßig auf die Stellen verteilt sind und sich keine wiederkehrende Folge ergibt, wie es bei manchen Dezimalbrüchen der Fall ist. Das heißt alle Ziffern sind gleich wahrscheinlich, und so fand man, dass jede Ziffer zwischen 0 und 9 rund 600 Millionen Mal vorkommt. Dergleichen ist für Mathematiker natürlich noch längst kein Beweis, denn es könnte ja schließlich sein, dass ab irgendeiner noch unbekannten Stelle auf dem Weg zur Unendlichkeit die zufällige Streuung der Ziffern einer regelmäßigen Ziffernfolge weicht.

Tatsächlich findet sich Pi in bester Gesellschaft. Man kennt nämlich eine ganze Reihe von Zahlen, deren Zifferfolge unendlich ist und die vermutlich normal sind. Die Quadratwurzel aus zwei ist so ein Beispiel, der natürliche Logarithmus von zwei ein anderes. Zum Leidwesen der Mathematiker ließ sich bei keiner dieser Zahlen die Vermutung beweisen, dass sie normal sind.

Nun griffen zwei Mathematiker das Problem auf und ersetzten die eine Vermutung durch eine andere, die aber – so nehmen sie zumindest an – leichter zu lösen sei. David Bailey vom Lawrence Berkeley National Laboratory beschäftige sich schon als Student ausgiebig mit der Zahl Pi, lernte er doch als Zeitvertreib zwischen den Vorlesungen ihre Ziffernfolge auf dreihundert Stellen auswendig. 1985 testete er einen neuen Cray-2-Supercomputer der NASA und errechnete damit die ersten 29 Millionen Stellen der irrationalen Zahl. Sein Programm stolperte dabei über Hardware-Fehler – sehr zum Verdruss für Seymour Cray.

Bailey und sein Kollege Richard Crandall vom Center of Advanced Computation am Reed College in Portland schlugen nun eine plausible Hypothese aus dem Bereich chaotischer Dynamik vor, nämlich dass Zahlen dann normal sind, wenn ihre Binärdarstellung normal ist, also die Ziffernabfolge einer Zahl gleichförmig auf null und eins verteilt ist. Die Annahme, welche die Wissenschaftler als "Hypothese A" bezeichnen, entwickelte sich direkt aus einer Entdeckung, die Bailey zusammen mit den zwei kanadischen Mathematikern Peter Borwein und Simon Plouffe machte. Die Wissenschaftler fanden nämlich eine Formel, mit der sich eine willkürliche Stelle von Pi in binärer Darstellung errechnen lässt, ohne dass irgendeine vorangehende Stelle bekannt sein muss – dergleichen hielten Mathematiker zuvor für unmöglich.

Diese nach ihren Entdeckern benannte BBP-Formel führt zu einer Folge von Einsen und Nullen, die gleichmäßig verteilt zu sein scheint. Wenn dem so ist, dann wäre auch Pi normal. Bailey ist jedoch vorsichtig, da die "Hypothese A" selbst noch nicht bewiesen ist. "Was wir gemacht haben, ist ein bislang unlösbares Problem – die Normalität von Pi und anderer Konstanten – auf eine leichter zugängliche Fragestellung im Bereich chaotischer Prozesse zu übertragen", erklärt Bailey. Während andere Mathematiker fürchten, dass sich die entscheidende "Hypothese A" nicht lösen lässt, bleiben Crandall und Bailey gelassen. Bailey zitiert den bekannten Mathematiker Carl Ludwig Siegel: "Man kann nicht die wahren Schwierigkeiten eines Problems abschätzen, bevor man es gelöst hat."