Hemmes mathematische Rätsel: Altersfrage
Die Zeitschrift »Praxis der Mathematik« erscheint seit 1959 und wendet sich mit Artikeln zur Mathematikdidaktik an Lehrerinnen und Lehrer. Vom ersten Heft an hatte sie eine Aufgabenecke, in der auch viele knifflige Probleme der Unterhaltungsmathematik zu finden sind. Das folgende Problem wurde im 4. Heft des Jahres 1959 von einem Einsender namens Doose veröffentlicht.
»Nachträglich herzlichen Glückwunsch zum Geburtstag!«, sagt der Assistent zu seinem Professor und gibt ihm eine Schachtel. »Hier drin ist für jedes Ihrer Lebensjahre eine Praline.« »Vielen Dank«, antwortet der Professor. »Ich habe gestern meinen Geburtstag mit meiner Frau und meinen beiden Nichten gefeiert. Es fiel mir auf, dass die drei Damen zusammen genau zweimal so alt sind wie Sie. Und wenn man die Alter der drei Damen miteinander multipliziert, ergibt sich 2450. Dabei zähle ich nur die vollen Lebensjahre. Können Sie mir sagen, wie alt meine beiden Nichten sind?« Nach kurzem Überlegen erwidert der Assistent: »Sie haben mir noch nicht genügend erzählt!« »Da haben Sie recht«, sagt der Professor, »aber wenn ich Ihnen nun sage, dass ich der Älteste von uns vieren war, so wissen Sie alles Nötige.« Wie alt ist der Professor?
Die drei Damen sind, nach dem Alter geordnet, A, B und C Jahre alt, und A · B · C = 2450. Die Zahl 2450 hat die Primfaktoren 2 · 5 · 5 · 7 · 7. Daraus ergeben sich zwanzig Möglichkeiten für die Alter der Damen, die aus Platzgründen hier nicht aufgeführt werden, aber die Sie sich selbst auflisten sollten. Dabei werden Sie feststellen, dass A + B + C nur in den Fällen 5 + 10 + 49 = 64 und 7 + 7 + 50 = 64 ein gleiches Ergebnis ergibt. Alle anderen achtzehn Fälle führen zu verschiedenen Summen.
Der Assistent kennt natürlich sein eigenes Alter, das gerade die Hälfte von A + B + C ist. Da er jedoch trotzdem nicht ermitteln kann, wie alt die Nichten sind, muss er 32 Jahre alt sein, denn dies ist die einzige Möglichkeit, die zu keinem eindeutigen Alter führt.
Die Frau des Professors ist also 49 oder 50 Jahre alt. Der Professor weiß, dass der Assistent sein Alter kennt, und er sagt, dass er auf seiner Geburtstagsfeier der Älteste war und dass der Assistent dadurch das Alter der Nichten ermitteln könne. Wäre der Professor nun 51 Jahre oder älter, so könnte der Assistent mit dieser Information nichts anfangen. Anderseits kann er auch nicht 49 Jahre oder jünger sein, da er sonst nicht älter als seine Frau wäre. Folglich ist er 50 Jahre alt.
Seine beiden Nichten sind somit 5 und 10 und seine Frau 49 Jahre alt.
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