Hemmes mathematische Rätsel: Baumreihen
Im Jahr 1821 veröffentlichte der englische Mathematiklehrer John Jackson in London sein in der Unterhaltungsmathematik sehr bekanntes Buch »Rational Amusement for Winter Evenings; or, A Collection of above 200 Curious and Interesting Puzzles and Paradoxes relating to Arithmetic, Geometry, Geography, &c. with Solutions, and four Plates. Designed Chiefly for Young Persons.« Trotz seines für den heutigen Geschmack etwas sperrigen Titels ist dieses Buch eines der besten Werke über den mathematischen Denksport aus der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts. In ihm erscheinen erstmals die Baumreihenprobleme, die seitdem vielfach variiert wurden und sich zu einem Klassiker der Unterhaltungsmathematik entwickelt haben. John Jackson veröffentlichte in seinem Buch das Baumreihenproblem gleich in zehn verschiedenen Varianten, die er alle in Versform gebracht hatte. Hier ist das erste seiner Rätsel:
Your aid I want, nine trees to plant
In rows just half a score;
And let there be in each row three.
Solve this: I ask no more.
Frei ist Deutsche übersetzt lautet die Aufgabe: Versuchen Sie, neun Bäume so in einen Garten zu pflanzen, dass sie zehn gerade Reihen bilden, in denen jeweils genau drei Bäume stehen. Ist das Problem überhaupt lösbar?
Pflanzt man die neun Bäume so an, wie es die Skizze zeigt, so bilden sie zehn gerade Reihen mit jeweils drei Bäumen.
Die Mathematiker haben dieses Problem zu folgender Frage verallgemeinert: Wenn man n Bäume in geraden Reihen mit jeweils genau k Bäumen pflanzen soll, wie viele Baumreihen r(n,k) sind dann maximal möglich? Diese Frage ist bisher nur für kleine Werte von n und k beantwortet worden. So sind beispielsweise die Reihenzahlen r(3,3) bis r(3,12) gerade 1, 1, 2, 4, 6, 7, 10, 12, 16 und 19. Die Lösung unserer Aufgabe ist also auch gleichzeitig der Maximalwert r(3,9) = 10.
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