Hemmes mathematische Rätsel: Kongruente Dreiecke
Der Mathematiker Ulrich Graf (1908–1954) war Professor an der Technischen Hochschule in Danzig. Bekannt wurde er vor allem durch sein Buch über die Darstellende Geometrie, das er 1937 veröffentlichte und das zum Standardlehrbuch wurde. Bis 1991 erschien es in insgesamt zwölf Auflagen. Ulrich Graf hat aber auch ein schmales, aber wunderschönes Büchlein über die Unterhaltungsmathematik geschrieben, das 1942 in Dresden erschien. Es hat den Titel »Kabarett der Mathematik« und enthält mathematische Kuriositäten, Spielereien und Rätsel, aber auch Gedichte und Aphorismen über Mathematik. Aus diesem Buch stammt das folgende Problem:
Jedes Dreieck hat sechs Bestimmungsgrößen: drei Seiten und drei Winkel. In vielen Geometrieschulbüchern kann man lesen, dass zwei Dreiecke kongruent, das heißt, deckungsgleich oder Spiegelbilder voneinander sind, wenn entweder zwei Winkel und eine Seite oder ein Winkel und zwei Seiten oder alle drei Seiten gleich sind. Kann es Dreiecke geben, bei denen die Werte von fünf Bestimmungsgrößen übereinstimmen und die trotzdem nicht kongruent sind?
Es gibt tatsächlich Dreiecke, die in fünf Bestimmungsgrößen übereinstimmen und doch nicht kongruent sind.
Betrachten Sie das erste Dreieck. Seine drei Seiten sind acht, zwölf und 18 Einheiten lang. Das zweite Dreieck hat die gleiche Form wie das erste Dreieck: die drei Winkel sind bei beiden gleich. Ein Mathematiker würde sagen, die beiden Figuren sind ähnlich. Alle Seiten sind beim zweiten Dreieck anderthalbmal so lang wie beim ersten, trotzdem tauchen bei beiden zwei gleiche Seitenlängen auf: Es gibt jeweils eine zwölf und eine 18 Einheiten lange Seite.
Die beiden Dreiecke des Beispiels haben also fünf gleiche Bestimmungsgrößen und sind trotzdem nicht kongruent. Übrigens widerspricht die Behauptung mit den fünf Bestimmungsgrößen aus der Aufgabe keineswegs den Sätzen über die Kongruenz von Dreiecken. Die drei Winkel und die beiden Seiten sind nur nicht vollständig angegeben: Man muss auch ihre gegenseitige Lage festlegen.
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