Bernschtejn
Im Gemüseladen "Kraut & Rüben" gibt es 4 Schubladen, in der
- sind Äpfel (mindestens einer und sonst nichts), in der
- Birnen (mindestens eine und sonst nichts), in der
- Citrusfrüchte (mindestens eine und sonst nichts) und in der
- eine Mischung aus Äpfeln, Birnen und Citrusfrüchten (von jeder Sorte mindestens ein Exemplar).
Die Wahrscheinlichkeit, in einer zufällig ausgelosten Lade mindestens einen Apfel zu finden, sei \(p_a\). Analog seien \(p_b\) und \(p_c\) für mindestens eine Birne und für mindestens eine Citrusfrucht definiert.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit \(p_{ab}\) dafür, dass man mindestens einen Apfel und mindestens eine Birne in einer zufällig ausgelosten Lade findet? Analog seien \(p_{ac}\) und \(p_{bc}\) definiert. Wie groß ist die entsprechend definierte Wahrscheinlichkeit \(p_{abc}\)?
Sind das Finden von Äpfeln, Birnen und Citrusfrüchten stochastisch unabhängig voneinander, gilt also die Multiplikationsregel der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
\(p_a=p_b=p_c= 1/2.\)
\(p_{ab}=p_{ac}=p_{bc}= 1/4.\) Das ist dasselbe wie das Produkt \(p_a \cdot p_b \) usw. Das gleichzeitige Auffinden von 2 Sorten folgt also der Multiplikationsregel, das spricht für stochastische Unabhängigkeit.Für alle drei ist aber \(p_{abc}\) nicht 1/8, wie es bei Unabhängigkeit aller drei Ereignisse voneinander sein müsste, sondern auch wieder 1/4.
Wir haben es also mit dem Fall zu tun, dass die Ereignisse paarweise voneinander stochastisch unabhängig sind, aber nicht alle drei zusammen. Sergej Natanowitsch Bernschtejn (1880 – 1968) hatte das Problem ursprünglich mit einem 4-seitigen, also tetraederförmigen Würfel formuliert, dessen Seiten blau, grün, rot und blau-grün-rot-gestreift sind.
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