Hemmes mathematische Rätsel: Das größte Achteck
Vor Ihnen liegt ein Bogen kariertes Papier mit der Karogröße 1×1. Zeichnen Sie darauf ein Achteck, dessen Ecken alle mit den Karoecken des Blattes zusammenfallen und dessen Seiten die Längen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und 8 haben, wenn auch nicht unbedingt in dieser Reihenfolge. Wie groß ist der größtmögliche Flächeninhalt des Achtecks?
Das Achteck braucht nicht konvex zu sein, aber es darf nicht überschlagen oder so entartet sein, dass Seiten aufeinander fallen oder Innenwinkel 180 Grad betragen.
Alle Ecken des Achtecks sind Schnittpunkte der Karorasterlinien. Darum können die Seiten des Achtecks entweder nur mit Rasterlinien zusammenfallen oder sie können die Hypotenusen von rechtwinkligen Dreiecken sein, deren Ecken Rasterschnittpunkte und deren Katheten Rasterlinien sind. Der zweite Fall ist nur dann möglich, wenn nach dem Satz des Pythagoras a2 + b2 = c2 gilt, wobei c eine der Achteckseiten von 1 bis 8 ist und a und b die ganzzahligen Katheten sind.
Es lässt sich leicht überprüfen, dass diese Gleichung nur für c = 5 eine ganzzahlige Lösung hat: 32 + 42 = 52. Folglich fallen alle Seiten des Achtecks mit Rasterlinien zusammen, nur die Seiten der Länge 5 kann auch schräg verlaufen. Nun ist es nicht mehr allzu schwer, durch systematisches Probieren die Achtecke mit dem größten Flächeninhalt zu finden. Es gibt zwei leicht unterschiedliche Formen, die beide einen Inhalt von 75 Quadrateinheiten haben.
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