Hemmes mathematische Rätsel: Das Zahlenachteck
Das heutige Rätsel hat Reiner Ketteniß vom Städtisches Gymnasium in Eschweiler in Nordrhein-Westfalen erdacht.
An den Ecken eines regelmäßigen Achtecks stehen acht verschiedene positive ganze Zahlen. Sie sind so gewählt worden, dass die Quadrate der sich diagonal gegenüberliegenden Zahlen jeweils eine Differenz von 160 haben. Wie lauten die acht Zahlen?
Sind X und Y zwei Zahlen, die sich in dem Achteck diagonal gegenüberliegen und von denen X die größere ist, so gilt für sie X2 − Y2 = 160. Die linke Seite der Gleichung kann man nach der dritten binomischen Formel in zwei Faktoren aufspalten: (X − Y)(X + Y) = 160. Auch die rechte Seite der Gleichung kann in zwei Faktoren zerlegt werden. Sollen diese Faktoren positiv und ganzzahlig sein, hat man dafür die sechs Möglichkeiten 1 · 160, 2 · 80, 4 · 40, 5 · 32, 8 · 20 und 10 · 16. Da X der Mittelwert beider Faktoren ist, kann es für X und Y nur dann ganzzahlige Lösungen geben, wenn beide Faktoren entweder gerade oder ungerade sind. Deshalb scheiden die Paare 1 · 160 und 5 · 32 aus. Das Produkt 2 · 80 führt zu den beiden Gleichungen X − Y = 2 und X + Y = 80, woraus sich X = 41 und Y = 39 ergibt. Die drei anderen Faktorenpaare ergeben nach dem gleichen Muster die Zahlenpaare (22, 18), (14, 6) und (13, 3).
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