Mit Ceva ist es ganz einfach!

Im Satz von Ceva kehren sich nur die Verhältnisse in ihre Kehrwerte um, das Produkt ist dann natürlich immer noch 1.

Die Bezeichnung "isotom" (englisch "isotomic") kommt vom griechischen Wort für "Abschneiden", denn die Sache nit dem Spiegeln kann man ja auch so deuten, dass man (zum Beispiel mit der Geraden \(CP_c\)) ein Stück erst vom einen Ende (der Seite \(AB\) und dann stattdessen (mit \(CQ_c\)) ein gleich langes (isos = gleich) vom anderen abschneidet.

Die isotome Abbildung bildet das Innere des Dreiecks auf sich ab, und zwar jedes der 6 Segmente, die durch die Seitenhalbierenden voneinander getrennt sind, in das gegenüber liegende. Für den Außenraum gibt es weitere 12 Paare von Gebieten, die jeweils auf einander abgebildet werden, das Bild zeigt dieses alles:

Der Schwerpunkt wird auf sich selbst abgebildet, ebenso jede der 3 Ecken des Dreiecks, das sich durch Streckung im Verhältnis –2:1 vom Schwerpunkt aus ergibt.

Es gibt zwischen den "neuen" Mittelpunkten des Dreiecks (d. h. denen, die erst nach der Antike, hier sogar erst im 19. Jahrhundert gefunden wurden) eine ziemlich leicht beweisbare gegenseitige Isotomie-Beziehung, nämlich zwischen den Punkten, die man als Schnittpunkte bekommt, wenn man die Ecken einerseits mit den Berührpunkten des Inkreises verbindet (Gergonne-Punkt), andererseits mit denen der Ankreise (Nagel-Punkt). Für den Beweis bringen uns Kreise um die Ecken mit dem halben Umfang des Dreiecks auf den Weg.

Das Bild zeigt ein Dreieck mit seinem Inkreis und seinen Ankreisen. Jeder Ankreis berührt eine Seite sozusagen direkt und die anderen beiden in ihren Verlängerungen. Diese äußeren Berührpunkte haben von den Ecken den halben Umfang des Dreiecks als Abstand (vgl. die gestrichelten roten Bögen mit dem größten Radius).

Man zeichne die beiden Tangenten von einem Punkt an einen Kreis. Dann sind die Tangentenstücke von diesem Punkt zu den Berührpunkten an den Kreis gleich lang. Aus dieser Tatsache folgt hier einiges, vor allem dass die (violett bzw. grün hervorgehobenen) Schnittpunkte von Gergonne und Nagel nach dem Satz von Ceva wirklich existieren.

Es ist (für die Isotomie) noch zu zeigen, dass auf jeder Seite des Dreiecks die Berührpunkte des Inkreises und des anliegenden Ankreises symmetrisch zur Mitte der Seite liegen, was die violett gestrichelten Halbkreise andeuten.

Die Berührradien des Inkreises teilen das Dreieck in 3 Drachenvierecke mit je zwei rechten Winkeln. Sind \(A_i\) usw. die Berührpunkte des Inkreises, so gilt \(AB_i =AC_i\) usw., der Umfang besteht aus drei Paaren gleicher Abschnitte, und wenn wir wie üblich den halben Umfang \(s = (a + b+ c)/2\) nennen, so sind die Abstände \(AB_i = BA_i = s – c \) usw.

Für die Berührpunkte \(A_a\) usw. des Ankreises (mit dem Dreieck selbst) finden wir entsprechend z. B. \(BA_a = a – (s – c) = a + c – s\).

Die Summe beider Abschnitte ist aber gerade die Seite \(a\), also liegen die Berührpunkte auf der Seite \(a\) (und entsprechend auf allen anderen) symmetrisch zur (jeweiligen) Seitenmitte.