Hemmes mathematische Rätsel: Die Nullen der Fakultät
Multipliziert man alle ganzen Zahlen von 1 bis n miteinander, so bezeichnet man dieses Produkt als die Fakultät von n und schreibt dies nach einem Vorschlag des französischen Mathematikers Christian Kramp (1760–1826) als n!. So sind beispielsweise 3! = 1 · 2 · 3 = 6 und 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Die Null nimmt eine Sonderstellung ein; per Definition ist 0! = 1. Die Fakultätsfunktion spielt vor allen Dingen in der Kombinatorik eine große Rolle.
Multipliziert man den Ausdruck 100! aus, erhält man eine 158-stellige Zahl, an deren Ende viele Nullen stehen. Mit wie vielen Nullen endet diese Zahl?
Jede Multiplikation einer Zahl mit 10 fügt an das Ende dieser Zahl eine 0 an. Aber auch wenn man eine Zahl nacheinander mit den beiden Primfaktoren von 10, also mit 2 und 5, multipliziert, wird an ihr Ende eine 0 dazugesetzt. Bei allen anderen Primfaktoren bekommt man keine zusätzlichen Nullen.
Bei der Zahl 100! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · … · 100 ist jeder zweite Faktor eine gerade Zahl und enthält darum den Primfaktor 2 mindestens einmal. Der Primfaktor 5 ist wesentlich seltener. Es reicht also zur Berechnung der Endnullen aus, zu zählen, wie häufig der Primfaktor 5 in den hundert Faktoren auftritt. Zunächst enthalten die zwanzig Zahlen 5, 10, 15, 20, …, 100 den Primfaktor 5. Bei der 25 = 5 · 5 kommt noch eine zweite 5 dazu, die natürlich auch in ihren Vielfachen 50, 75 und 100 enthalten ist. Somit endet 100! auf 24 Nullen.
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