Hemmes mathematische Rätsel: Ringflächen
Die meisten Mathematiker knobeln gerne. Darum gibt es in vielen wissenschaftlichen Mathematikzeitschriften auch eine Rätselecke. Bei der amerikanischen Zeitschrift »Mathematics Magazine«, die sich an Lehrer und Studenten wendet, nimmt sie sogar einen besonders großen Raum ein. Es gibt beziehungsweise gab in jedem Heft jeweils vier verschiedene Aufgabenkolumnen: die Probleme, die Quickies, die Trickies und die Falsies. Als Quicky Nummer 778 veröffentlichte Ken Rebman dort 1991 das folgende Problem:
Wie groß ist die Fläche des Kreisringes, der vom Umkreis und vom Inkreis eines regelmäßigen Siebenecks, das eine Seitenlänge von einem Zentimeter hat, gebildet wird? Wie groß ist die entsprechende Ringfläche bei einem 37-Eck mit einer Seitenlänge von einem Zentimeter?
Die Fläche des Ringes zwischen Umkreis und Inkreis ist interessanterweise für alle regelmäßigen Vielecke, die eine Seitenlänge von einem Zentimeter haben, gleich.
Betrachten wir einen Sektor eines solchen Vielecks. Er besteht aus zwei gleichen rechtwinkligen Dreiecken, bei denen eine Kathete gleich dem Radius r des Inkreises ist, die zweite eine Länge von einem halben Zentimeter hat und die Hypotenuse gleich dem Umkreisradius R ist. Nach dem Satz des Pythagoras ist somit R2 − r2 = 0,25 cm2. Da für die Ringfläche A = π(R2 − r2) gilt, muss sie also einen Wert von A = π · 0,25 cm2 ≈ 0,785 cm2 haben.
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