Hemmes mathematische Rätsel: Die Treppe
Heinz Klaus Strick wurde 1945 geboren und war bis zu seiner Pensionierung Mathematik- und Physiklehrer an einem Leverkusener Gymnasium, das er auch neun Jahre lang leitete. Er hat eine große Zahl von Aufsätzen für Fachzeitschriften geschrieben. Einem breiten Publikum bekannt wurde er durch seine Mathematikerbiografien, die er seit 2006 Monat für Monat mit Briefmarken illustriert auf der Internetseite der Zeitschrift »Spektrum der Wissenschaft« veröffentlicht. Seit 2007 engagiert sich Strick für das Friedensdorf Oberhausen und unterstützt es durch den Verkauf immerwährender Kalender mit dem Titel »Mathematik ist schön«. Im Jahr 2008 veröffentlichte er das folgende, für hier leicht veränderte Rätsel:
Herr Hurtig lässt seine Kunden nicht gerne warten. Wenn sein Laden voll ist, flitzt er die Treppe zwischen dem Verkaufsraum und dem Lager in Windeseile rauf und runter und nimmt oft zwei Stufen auf einmal. Sind nur wenige Kunden im Geschäft, steigt er gemächlich Stufe für Stufe hinauf und wieder herunter. Eines Tages in der Sauren-Gurken-Zeit als er alleine im Laden ist, denkt er darüber nach, dass er doch viele verschiedene Möglichkeiten hat, die zehn Stufen der Treppe hinaufzusteigen, wenn er mit jedem Schritt entweder die nächste oder die übernächste Stufe nimmt. Die beiden Extremfälle sind, entweder jede Stufe zu nehmen oder nur jede zweite Stufe zu nehmen. In Zahlen: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) und (2, 4, 6, 8, 10). Aber es gibt noch viele Möglichkeiten dazwischen, beispielsweise (1, 3, 4, 6, 8, 9, 10) und (2, 3, 5, 7, 8, 9, 10). Wie viele Möglichkeiten sind es insgesamt?
Bevor wir uns an die zehnstufige Treppe wagen, beginnen wir mit kürzeren Treppen. Für eine einstufige Treppe gibt es trivialerweise nur die einzige Möglichkeit mit einem Schritt nach oben zu gelangen, also (1).
Bei einer zweistufigen Treppe sind es die beiden Möglichkeiten (2) und (1, 2).
Bei einer dreistufigen die drei Möglichkeiten (1, 3), (2, 3) und (1, 2, 3).
Bei einer vierstufigen die fünf Möglichkeiten (2, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4) und (1, 2, 3, 4).
Wenn Herr Hurtig bei einer Treppe oben ankommt, so hat er direkt davor entweder auf der vorletzten oder der letzten Stufe gestanden. Man kann darum eine n-stufige Treppe zerlegen in entweder eine (n–2)-stufige Treppe und zwei zusätzliche Stufen oder in eine (n–1)-stufige Treppe und eine zusätzliche Stufe.
Die Zahl der Möglichkeiten eine n-stufige Treppe zu besteigen, ist somit die Summe der Möglichkeiten, eine (n–2)-stufige Treppe und eine (n–1)-stufige Treppe zu besteigen. Nun kann man die Möglichkeiten für die verschiedene Werte von n leicht berechnen, indem man, beginnend mit 1 und 2, jeweils die beiden davor stehenden Werte addiert. Man erhält 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 377, 610, … Die zehnte Zahl dieser Folge ist 89, darum hat Herr Hurtig 89 Möglichkeiten, über seine Treppe vom Laden ins Lager zu steigen.
Diese Zahlen sind übrigens in der Mathematik sehr bekannt. Sie heißen Fibonaccizahlen und haben ihren Namen von dem Mathematiker Leonardo von Pisa, der auch Fibonacci genannt wurde und um 1200 in Italien lebte.
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