Hemmes mathematische Rätsel: Drei Neunen
Eines der besten Werke des 19. Jahrhunderts über mathematische Denksportaufgaben ist das 1880 in Leipzig und Wien erschienene Buch »Mathematische Kurzweil«. Es wurde von dem Leipziger Schuldirektor Louis Mittenzwey geschrieben. Bis 1918 wurden sieben Auflagen davon gedruckt, und 1955 erschien noch eine von Bruno Rüger überarbeitete 8. Auflage. Die erste Auflage des Buchs enthält 300 Denksportaufgaben aus vielen Bereichen der Mathematik. In den späteren Auflagen wird diese Zahl sogar noch auf 333 erhöht. In diesem Buch taucht erstmals das bekannte Problem der drei Neunen auf, das sich sehr schnell zu einem Denksportklassiker entwickelte.
Welches ist die größte Zahl, die man mit drei Neunen darstellen kann, ohne dazu weitere Ziffern, Buchstaben oder Wörter zu benutzen?
Der irische Schriftsteller James Joyce war so fasziniert von dieser Aufgabe, dass er sie in seinen Roman »Ulysses« integrierte. Allerdings verschätzt sich sein Protagonist Leopold Bloom bei der Größe der Zahl.
Die größte Zahl, die man mit drei Neunen darstellen kann, ist nicht 999, sondern \(9^{9^{9}}\).
Die Zahl muss man definitionsgemäß von oben nach unten abarbeiten. Mit Klammern geschrieben sähe sie also so aus: \(9^{(9^{9})}\). Würde man die Zahl ausmultiplizieren und auf einen Streifen Papier schreiben und dabei für jede Ziffer fünf Millimeter brauchen, wäre dieser Streifen über 1848 Kilometer lang.
Mit einem Taschenrechner kann man das Ergebnis natürlich nicht ausrechnen, aber mit etwas Mathematik doch zumindest die Stellenzahl bestimmen. Wenn man den Zehnerlogarithmus einer Zahl n bildet und den ganzzahligen Anteil davon um 1 erhöht, erhält man die Stellenzahl von n. So beträgt beispielsweise log 2006 = 3,302… Der ganzzahlige Anteil hiervon ist 3, und somit hat 2006 genau vier Stellen.
Nach den Logarithmengesetzen gilt log \(9^{9^{9}}\) = 99 log 9. Diesen Ausdruck kann man mühelos mit einem Taschenrechner zu 369 693 099,63… berechnen. Folglich hat die Zahl 369 693 100 Stellen.
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