Zum Beweis können Sie aus dem Satz vom Umfangswinkel den Zusammenhang zwischen einer Seite, ihrem Gegenwinkel und dem Umkreis-Durchmesser herleiten. Es handelt sich um eine durch eine Zusatz-Information erweiterte Form des Sinussatzes.

Der Peripheriewinkelsatz (Satz vom Umfangswinkel) sagt Folgendes: Eine Sehne \(BC\) in einem Kreis (mit dem Mittelpunkt \(M\)) teilt diesen in zwei Bogenstücke. Für alle Punkte \(A\) auf einem dieser beiden Bögen ist der Winkel \(\alpha=\angle BAC\) gleich groß, und für alle Punkte \(A'\) auf dem anderen Bogenstück \(\alpha' =\pi-\alpha\). Man zeigt das durch Bilanzierung der Winkelsummen in den (zum Teil gleichschenkligen) Dreiecken \(ABC\), \(AMB\), \(BMC\) und \(AMC\).

Nun kommt der Trick: Wir zeichnen um ein Dreieck \(ABC\) den Umkreis mit dem Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r\). Dann wenden wir den Peripheriewinkelsatz auf eine Seite an, z. B. auf \(a = BC\): Für alle Punkte \(A'\), die auf dem gleichen Teil des Umkreises zwischen \(B\) und \(C\) liegen wie \(A\), ist der Winkel \(BA'C\) so groß wie \(BAC\), also auch für \(A''\), das gegenüber von \(B\) liegt. Wegen \(BA''=2r\) ist nun \(\sin(BA''C) = a/2r\), denn der Winkel \(A''CB\) ist nach dem Satz des Thales ein Rechter.

Wir haben damit den Sinussatz in der Form \(a\,/\sin(\alpha) = 2r\). Das gilt für jede der drei Seiten eines beliebigen Dreiecks mit dem Umkreisradius \(r\), also ist \(a\,/\sin(\alpha) =b\,/\sin(\beta) =c\,/\sin(\gamma) = 2r\).

Die Punkte auf dem anderen Bogen des Umkreises haben zwar nicht die gleichen Winkel, aber immerhin Winkel mit dem gleichen Sinus, da stets \(\sin(\pi-\alpha) = \sin(\alpha)\) gilt.

Bekanntlich ist die Fläche des Dreiecks die Hälfte aus dem Produkt aus Grundseite und rechtwinklig zu ihr stehender Höhe (was leicht über die Zerlegung eines doppelt so großen Parallelogramms und Umbau zu einem Rechteck einzusehen ist). Wählt man \(a\) als Grundseite, so ist die Höhe \(b \cdot \sin(\gamma) \) (oder auch \(c \cdot \sin(\beta) \), was auf dasselbe hinausläuft). Mit dem Sinussatz wird daraus unsere "symmetrische" Fomel, in der keine Seite mehr bevorzugt wird.