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Hemmes mathematische Rätsel: Fahrenheit und Celsius

Finden sie eine ganzzahlige Celsiustemperatur, die sich in eine Fahrenheittempartur umwandelt, wenn man die letzte Stelle der Celsiustemperatur an ihren Anfang verschiebt?
Fieberthermometer

Die Fahrenheitskala wurde um 1714 von dem deutschen Physiker und Instrumentenbauer Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736) entwickelt. Bei dieser Temperaturskala sind der Gefrier- und der Siedepunkt des Wassers mit 32° F und 212° F festgelegt. Sie ist heute nur noch in Nordamerika gebräuchlich. Bei der Celsiusskala hingegen entsprechen dem Gefrier- und dem Siedepunkt des Wassers Temperaturen von 0° C und 100° C. Sie wurde 1742 von dem schwedischen Astronomen Anders Celsius (1701-1744) eingeführt. Daraus resultiert die Umrechnungsformel von einer Celsiustemperatur C in eine Fahrenheittemperatur F zu F = 9/5C + 32.

Welche positive ganzzahlige Celsiustemperatur lässt sich in die korrekte positive ganzzahlige Fahrenheittemperatur umwandeln, indem man einfach die letzte Stelle der Celsiustemperatur an ihren Anfang verschiebt? Beispielsweise würde aus 2147° C mit dieser Methode 7214° F werden. Dennoch ist dies keine Lösung der Aufgabe, denn 2147° C ist nicht die gleiche Temperatur wie 7214° F.

Einer Celsiustemperatur C entspricht eine Fahrenheittemperatur von F = 9/5C + 32. C und F sollen positiv und ganzzahlig sein, darum muss C durch 5 teilbar sein. Das ist nur der Fall, wenn C auf 0 oder 5 endet.

In der Aufgabe war außerdem gefordert worden, dass die Fahrenheittemperatur dem Wert der Celsiustemperatur entspricht, bei der die letzte Ziffer an den Anfang verschoben worden ist. Eine 0 am Ende von C ergibt auf diese Weise eine Fahrenheittemperatur, die kleiner ist als C. Das ist aber unmöglich. Folglich endet die Celsiustemperatur mit einer 5.

Ist a die Zahl, die entsteht, wenn man von der Celsiustemperatur die letzte Stelle streicht, so gilt C = 10a + 5. Hat C n Stellen, wird daraus die Fahrenheittemperatur F = 5 • 10n–1 + a.

Setzt man beide Temperaturen in die Umrechnungsgleichung ein, erhält man 5 • 10n–1 + a = 9/5 (10a + 5) + 32. Sie wird nach a aufgelöst und ergibt a = (5 • 10n–1 – 41) / 17.

Für n = 2 findet man keine ganzzahlige Lösung, aber für n = 3 bekommt man a = 27. Folglich sind die Temperaturen 275° C und 527° F gleich hoch.

Die nächste Lösung ist 2 941 176 470 588 235 275° C = 5 294 117 647 058 823 527° F und so hoch, dass sie im Universum nicht vorkommen kann. Man kann zeigen, dass es immer genau dann Lösungen gibt, wenn n = 16m + 3 ist mit m = 0, 1, 2, 3, …

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