Wenn Polyeder lauter einander deckungsgleiche Flächen haben, die in gleichen Positionen zum Schwerpunkt liegen, sind wir auf der sicheren Seite.

Die Zahlen der Flächen erfassen (mindestens) alle geraden Zahlen von 4 an.

Polyeder mit lauter deckungsgleichen Flächen, die in gleichen Positionen zum Schwerpunkt liegen, bilden auf jeden Fall faire Würfel (denn es gibt keine spezielle Fläche, auf die das Polyeder wahrscheinlicher fallen würde als auf jede andere).

Dazu gehören die vornehmsten aller Polyeder, nämlich die regulären oder platonischen: Tetraeder, Hexaeder (also der gewöhnliche Würfel), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Damit sind die Flächenzahlen 4, 6, 8, 12 und 20 abgedeckt. Das Tetraeder muss dabei indirekt abgelesen werden, da bei ihm nach dem Würfeln immer eine Ecke und keine Fläche zuoberst liegt.

Die 13 archimedischen Polyeder (mit lauter deckungsgleichen Ecken) kann man durch passendes Ungleich-Machen der Kantenlängen zu fairen Würfeln zurechtschneiden. Es ist aber nicht damit getan, dass die Flächen gleich groß werden, denn diese haben (dann und auch vorher schon) ungleiche Abstände vom Schwerpunkt. Das Gleiche gilt für die abzählbar unendlich vielen Prismen und Antiprismen.

Einfacher geht es mit den Polyedern, die zu ihnen dual sind, also den 13 catalanschen Polyedern sowie den abzählbar unendlich vielen Doppelpyramiden und Trapezoedern. In ihren halbregulären Formen haben sie Inkugeln und Kantenberührkugeln und bestehen aus lauter einander deckungsgleichen Flächen, z. B. Drachenvierecke oder ungleichseitige Dreiecke, und zwar in gleichen Positionen zum Mittelpunkt. Besonders schöne Catalan-Polyeder sind das Rhomben-Dodekaeder und das Rhomben-Triakontaeder (aus 12 bzw. 30 Rhomben). Mit allen 13 Catalan-Polyedern werden die Flächenzahlen 12 (zweimal), 24 (viermal),30, 48, 60 (viermal) und 120 abgedeckt.

Alle geraden Zahlen von 6 bis Unendlich (falls das eine gerade Zahl ist) erreichen wir dagegen mit symmetrischen, zu den Prismen dualen Doppelpyramiden (und ebenso gut mit den etwas komplizierter aussehenden Trapezoedern, die dual zu den Antiprismen sind).

Polyeder mit ungeraden Flächenzahlen kann man sicherlich auch zu fairen Würfeln abschleifen, aber ich stelle mir systematische Rezepte dazu schwierig vor. Wenn es nötig sein sollte, nimmt man besser kein Polyeder, sondern einen Polygon-Kreisel mit einem Stiel durch die Rotationsachse. Damit sind dann alle Seitenzahlen von 3 bis Unendlich machbar, jedenfalls im Prinzip.

Außerdem kann man immer noch auf die doppelte (und dann auf jeden Fall gerade) Zahl von Flächen ausweichen und jeweils auf zwei Flächen die gleichen Zahlen schreiben.