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Halbe Wege

Treitz-Rätsel

Ein Weg führt in Form eines (unregelmäßigen) Dreiecks um eine sandige Fläche. Zwei Wanderer beginnen an einer Ecke gleichzeitig in entgegengesetzten Richtungen um das Dreieck zu gehen, und wie es sich für Denkaufgaben gehört, haben sie genau gleiche Geschwindigkeiten. Nach (jeweils) dem halben Umfang treffen sie sich und gehen gemeinsam auf dem kürzesten Weg, also quer durch den Sand, zum Start zurück. Am nächsten Tag (wir wollen nichts überstürzen) wiederholen sie das Gleiche, aber von einer anderen Ecke aus. Unterwegs kreuzen sie irgendwo den Weg (also ihre Spuren) vom Vortag und markieren die Stelle auffällig. Am dritten Tag wandern sie wieder und (Sie werden es schon vermuten) starten an der dritten Ecke. Ist es erstaunlich, dass sie auf ihrem geradlinigen Heimweg genau die Marke passieren?

An sich schon, aber mit dem (umgekehrten) Satz von Ceva kann man beweisen, dass es so sein muss.

Wenn \(s = (a + b + c)/2\) der halbe Umfang ist, so kann man die Seiten des Dreiecks so schreiben wie in der Zeichnung. Im Satz von Ceva kürzt sich dann alles heraus, und die Ecktransversalen schneiden sich.

Die drei Halb-Umfangs-Punkte haben auch noch eine andere Bedeutung im Dreieck: Sie sind die Berührpunkte der Ankreise, der Schnittpunkt ihrer Ecktransversalen ist nach von Nagel benannt.

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