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Rhombendodekaeder

Treitz-Rätsel

Was bekommt man, wenn man den Würfel vom Mittelpunkt aus in 6 Pyramiden teilt und diese jeweils auf den Würfelflächen nach außen spiegelbildlich verdoppelt?

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Wie viele Außenflächen hat das Ergebnis?

Die Überschrift der Frage "Rhombendodekaeder" sagt es schon (wenn man einige Wörter Griechisch kennt): Das Gebilde hat 12 rautenförmige Flächen (Rhomben) und 8 + 6 = 14 Ecken, also 24 Kanten. Die beim Anbauen der Pyramiden an den alten Würfelkanten zusammentreffenden Dreiecksseiten stoßen dort ohne Knick aneinander, verschmelzen also paarweise zu Rauten.

Das Rhombendodekaeder hat lauter deckungsgleiche Flächen, die aber nicht regulär sind, und zwei Sorten von Ecken, nämlich Treffpunkte von je 3 und von je 4 Rauten. Es gehört damit zu den Catalan-Polyedern, also den halbregulären Polyedern, die zu den archimedischen dual sind. Sein duales Gegenstück hat 12 deckungsgleiche Ecken und 14 reguläre Flächen (von zweierlei Sorten, nämlich Dreiecke und Quadrate) und natürlich ebenfalls 24 Kanten, es ist das Kuboktaeder.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Gemäß der hier beschriebenen Konstruktion besteht das Rhombendodekaeder aus 6 vierzähligen Doppelpyramiden, also unregelmßigen Oktaedern. Können Sie es auch in vier zueinander deckungsgleiche Polyeder aufspalten?

Diese Bilder zeigen abwechselnd die beiden (zueinander symmetrischen) Möglichkeiten dazu: Das Rhombendodekaeder wird in vier Rhombenhexaeder, sozusagen "schiefe Würfel", aufgeteilt.
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
Dass 8 der 14 Ecken des Rhombendodekaeders die Ecken eines Würfels sind und die kurzen Diagonalen der Rauten dessen Kanten, ist nach unserem Rezept klar. Was ist aber mit den langen Diagonalen, und was ist mit den Schnittpunkten der langen und der kurzen, also mit den Mittelpunkten der Rauten? Die "anderen" 6 Ecken liegen jeweils gleich weit "über" den Mitten der Würfelflächen und sind daher die Ecken eines regulären Oktaeders, die langen Diagonalen der 12 Rauten sind also dessen 12 Kanten. Im Stereofoto des Trinkhalmmodells sind die Kanten von Würfel und Oktaeder als (leicht gespannte) Gummifäden eingezogen, an ihren Kreuzungen ist ein Kuboktaeder eingehängt, das also hier so skaliert ist, dass seine Ecken in den Seitenmitten des Rhombendodekaeders liegen (zu dem es dual ist). Das Rhombendodekaeder hat viermal je 6 zueinander parallele Kanten (durch gleiche Trinkhalmfarben gekennzeichnet), sie stehen rechtwinklig zu je einem regelmäßigen Sechseck, das von 6 Kanten des Kuboktaeders gebildet wird.

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