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Vier Asse

Treitz-Rätsel

Zwei schwarze und zwei rote Karten werden gemischt, so gut man das mit so wenigen Karten machen kann. Dann dürfen Sie zwei Karten ziehen (ohne Zurücklegen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie zwei gleichfarbige Karten bekommen, also zwei schwarze oder zwei rote? Eddy meint: 2/3, denn es gibt 3 Fälle:

  • schwarz und schwarz,
  • rot und schwarz und
  • rot und rot,
und davon sind 2 "günstige". Freddy meint dagegen, dass es 4 gleich wahrscheinliche Fälle gibt:
  • schwarz und schwarz,
  • schwarz und rot,
  • rot und schwarz und
  • rot und rot,
davon 2 günstige, so dass die Wahrscheinlichkeit nur 1/2 ist. Wer hat Recht?

Oder sollten beide Unrecht haben?

Wenn ich schon so frage, haben wohl beide Unrecht.

Geben wir den Karten eigene Namen, zum Beispiel Herz, Karo (beide rot), Pik und Kreuz (beide schwarz). Es gibt ohne Beachtung der Reihenfolge, in der sie gezogen werden, 6 verschiedene Kombinationen, und nur 2 davon sind gleichfarbig. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also nur 1/3. Ich will Sie ja nicht zu unfairen Wetten anstiften, aber der Verlierer könnte gut und gerne an Pechsträhnen glauben, wenn er so oft verliert, jedenfalls wenn er Eddy oder Freddy heißt (oder so denkt).

Noch einfacher (und trotzdem korrekt) kann man es einsehen, wenn man nach dem Ziehen der ersten Karte, bei der ja noch alles "gut gehen kann", fragt: Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt nun eine Karte mit der gleichen Farbe wie die zuerst gezogene? Und die Antwort ist einfach: es muss genau eine bestimmte der drei übrigen Karten sein. Einfacher kann es kaum sein!

Dieses Rätsel ist an Tücke kaum zu überbieten, denn vor dem Tipp sieht es nach einer Entscheidung aus, die knifflig genug ist, aber dann sind beide Antworten falsch: Es genügt nicht, sozusagen die gezogenen Karten zu betrachten. Und dann kommt die niederschmetternd einfache und klare Lösung!

  • Quellen
Im Dezember 1970 brachte Martin Gardner es im Scientific American und im Januar 1971 die Lösung (auch mit dem elegant kurzen Argument).

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