Kugelvolumen
Beweisen Sie bitte die Formel für das Volumen einer Kugel, indem Sie durch geometrische Argumente (ohne Analysis) zeigen, dass eine Kugel und ein Doppelkegel (geeigneter Abmessungen) zusammen so groß sind wie ein Zylinder, und die relativ leicht einsehbaren Volumen-Formeln für Kegel und Zylinder als bekannt voraussetzen.
Nach dem Cavalieri-Prinzip haben zwei Körper gleich große Volumina, wenn man sie so nebeneinander stellen kann, dass sie in jeder Höhe gleich große Querschnittsflächen – jeweils in einer gemeinsamen Ebene – haben.
Dass ein Zylinder als Volumen das "Produkt" aus Grundfläche und Höhe hat, ist eine Folge des Prinzips, dass jeder Körper, der durch Überstreichen eines Teiles des Raumes mit einer ebenen Fläche – z.B. Kreis oder Quadrat – rechtwinklig zu dieser beschrieben werden kann, einen entsprechenden Rauminhalt hat.
Dass nun Kegel oder Pyramiden 1/3 Grundfläche mal Höhe haben, folgt mit dem Cavalieri-Prinzip aus der Zerlegung eines Würfels in drei (oder in sechs) gleich große Pyramiden. Dabei kommt es nicht darauf an, ob Kegel oder Pyramiden gerade oder schief sind; denn durch Scherung – die, wieder nach Cavalieri, nichts am Volumen ändert – kann man schiefe Spitzen "geraderücken".
Wir stellen nebeneinander eine Kugel (Radius \(r\)) sowie einen Zylinder, in den die Kugel genau hineinpassen würde (Höhe \(2r\), Boden- und Deckelfläche sind Kreise mit Radius \(r\)). Aus dem Zylinder nehmen wir einen Doppelkegel weg, dessen Spitze genau in der Mitte vom Zylinder liegt und dessen Boden- und Deckelfläche genau mit den entsprechenden Flächen des Zylinders übereinstimmen.
Nun schneiden wir nach dem Cavalieri-Prinzip beide Körper durch (horizontale) Ebenen in dünne Scheibchen. Ein solches Scheibchen ist bei der Kugel ein Kreis, beim ausgebohrten Zylinder ein Kreisring. Die Filme zeigen von beiden jeweils ein Viertel.
Liegt die Schnittebene in einer Höhe \(h\) über (oder unter) der Äquatorebene, so hat der Kreisring den Flächeninhalt \(\pi(r^2-h^2) \) (Kreis vom Zylinder minus Kreis vom Kegel). Denselben Inhalt hat aber auch der Kreis von der Kugel, denn für dessen Radius \(r_1\) gilt nach Pythagoras \(r_1^2+h^2=r^2\). Was zu beweisen war.
Von der Volumenformel der Kugel kommt man dann noch weiter zur Flächenformel, indem man die Kugel in Gedanken in unendlich viele Pyramiden mit dem Kugelmittelpunkt als gemeinsamer Spitze aufteilt. Die Grundflächen dieser Pyramiden sind dann die Kugeloberfläche.
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