Direkt zum Inhalt

Nicht deckungsgleich

Treitz-Rätsel

Zwei gewisse Dreiecke sind zueinander ähnlich, das heißt, in beiden gibt es die gleichen drei (untereinander verschiedenen) Winkel, sie sind nicht deckungsgleich (auch nicht nach Spiegelung), und trotzdem gibt es zwei ganzzahlige Seitenlängen, die in beiden vorkommen. Geht das?

Es geht. Zum Beispiel hat das eine Dreieck die Zahlenwerte 8, 12 und 18 für die Seitenlängen, das andere 12, 18 und 27.

Welche Bedingung gibt es für das Verhältnis der Seitenlängen (das in der genannten Lösung 3:2 ist) allgemein?

Allgemein müssen die Seitenlängen Glieder von geometrischen Folgen \(a, a \cdot k, a \cdot k^2, a \cdot k^3 \dots\) sein. Dabei muss der Quotient \(k\) wegen der Dreiecksungleichung (die längste Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen) zwischen \(1/g\) und \(g\) liegen, wobei \(g\) der goldene Schnitt \((1 + \sqrt5)/2\) ist. Im obigen Beispiel ist \(k=3/2\).

Schreiben Sie uns!

Beitrag schreiben

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Zuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Zuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmende sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Zuschriften können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!

Partnerinhalte

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.