Wie groß sind das orangefarbene und die beiden gelben Teildreiecke?

Benutzen Sie dazu geeignete Trapeze und deren Diagonalen.

Offensichtlich teilen diese Parallelen zu einer Seite die Fläche in 1 + 3 + 5 Neuntel.

Die grünen Dreiecke sind ähnlich zueinander im linearen Verhältnis 2/5 : 3/5. Das helle hat daher als Höhe (1/3)·(3/5) = 1/5 der Höhe des ganzen Dreiecks und damit auch 1/5 von dessen Fläche.

Noch schöner ist das folgende Zwischenergebnis:

Hier ist der Ähnlichkeitsmaßstab 1/4 : 3/4, die Höhe des Diagonalenschnittpunktes also genau die halbe Höhe des ganzen Dreiecks. Das hellblaue hat also auch dessen halbe Fläche. Was wir hier für eine "Grundseite" gemacht haben, gilt auch für die anderen beiden Seiten, obwohl das Dreieck keine gleichen Seiten haben muss.

Nun bilanzieren wir:

Das grüne Viereck hat als Fläche (1 – 1/2 – 2/5) = 1/10 der gesamten Dreiecksfläche. Andererseits ist unser gesuchtes Sechseck gleich dem ganzen Dreieck minus drei solchen Vierecken minus den drei blauen Dreiecken:

Es hat also den Anteil (1 – 3/10 – 3/5) = 1/10 der gesamten Fläche.

Diesen doch wirklich schönen Satz von Marion Walter habe ich auf einer Website des EDC (Education Development Center) gefunden.

Nun wissen wir aus einer anderen Aufgabe, dass dieses (blaue) Dreieck 1/7 der gesamten Fläche hat:

Wie groß ist dann dieser grüne sechszackige Stern?

2/7 – 1/10. Man hat zwei einander überlappende (sozusagen blaue) Dreiecke und muss davon das beiden gemeinsame "rote" Sechseck abziehen.

Muss man die Seiten des Dreiecks unbedingt dritteln? Was gibt es, wenn man jeweils in ihrer Mitte statt 1/3 ihrer Länge \(1/n\) abgrenzt? Muss \(n\) ganzzahlig sein?

Mit dem gleichen Beweisverfahren (Diagonalenschnittpunkte in den Trapezen, Flächenbilanzen) findet man als Flächenverhältnis aus Dreieck und Sechseck \((9 n^2 – 1)/8\). \(n\) muss darin reell und größer als 1 sein. Für Marion Walters originales Sechseck ist \(n = 3\), im Grenzfall \(n = 1\) füllt das Sechseck das ganze Dreieck aus (mit Zusammenfallen mehrerer Ecken).

In den folgenden Bildern bezeichnet der erste Quotient das Verhältnis von Dreiecksseite zu ausgewähltem (inneren) Seitenabschnitt und der zweite das Verhältnis von Fläche des gesamten Dreiecks zu Fläche des Sechsecks.