Pflaumenkuchen
Paul hat zum Schulfest zwei gleich große quadratische Bleche voll Pflaumenkuchen mitgebracht und angekündigt: Der erste Gast bekommt ein ganzes Blech, der zweite ein Quadrat, das halb so lang und so breit ist wie das Blech, der dritte eins, das 1/3 so lang und so breit ist, der vierte 1/4, der fünfte 1/5 usw. Der Gast Nr. \(n\) bekommt also den Anteil \(1/n^2\) von einem ganzen Blech.
Kommt Paul mit den beiden Blechen aus, auch wenn unendlich viele Gäste kommen sollten? Können Sie die Antwort mit einer einfachen Grafik beweisen?
Teilen Sie das Blech in Quadrate ein, in die jeweils die Stücke hineinpassen.
Es geht. Wir sehen uns gleich das zweite Blech an:
Paul schneidet den Kuchen erst einmal in (die hier waagerecht gezeichneten) Streifen der Breiten 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 usw., was man offensichtlich unendlich weit treiben kann, wenn die Zeit dazu reicht, denn man muss ja nur den oberen Rest jeweils halbieren.
Diese Streifen teilt er nun von links nach rechts in 2, in 4, in 8 usw. jeweils gleiche Quadrate (schwarze Linien im Bild). Die (bunt gemalten) Stücke, die er spendieren will, sind offensichtlich allesamt nicht größer als diese Quadrate, denn nur die linken Randstücke sind gerade genau so groß (warum?).
Die weißen Stücke kann Paul abschneiden und selbst essen, ohne seiner Ankündigung zuwiderzuhandeln.
Man kann auch herausbekommen, wie groß die an unendlich viele Gäste zu verteilende Fläche ist. Mit einem Taschenrechner kann man das natürlich leicht berechnen und findet 1,644934 Kuchenbleche.
Euler hat 1735 herausgefunden, dass es genau \(\pi^2/6\) ist.
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