Hemmes mathematische Rätsel: Pfund, Schilling und Pfennig
Der Brite W. Tom Williams war Lehrer. Er unterrichtete englische Literatur und entwarf Denksportaufgaben. Unter dem Pseudonym Tantalus schrieb er in den Dreißiger- und Vierzigerjahren des letzten Jahrhunderts eine wöchentliche Rätselkolumne mit dem Titel Literary Competitions für die englische Zeitschrift John o’ London’s Weekly. Der wohl weltweit größte Rätselerfinder Henry Ernest Dudeney verfasste von 1910 bis zu seinem Tod 1930 in der englische Zeitschrift The Strand Magazine die Denksportecke Perplexities. Williams trat Dudeneys Erbe an und führte gemeinsam mit dem englischen Mathematiker G. H. Savage die Kolumne fort. Williams und Savage fassten ihre Rätsel auch zu vier Büchern zusammen. Aus einem dieser Bücher, dem etwa 1940 erschienenen The Strand Problems Book, stammt das heutige Rätsel.
Bis 1971 wurde in England das karolingische Münzsystem benutzt, bei dem zwölf Pfennige (pence, d) einen Schilling (shilling, s) ergaben und zwanzig Schillinge ein Pfund (pound, £). Preise setzten sich darum aus einem Pfund-, einem Schilling- und einem Pfenniganteil zusammen und wurden meistens wie in dem Beispiel £33 18s 7d geschrieben. Dabei konnte der Schillinganteil nicht größer als 19 oder der Pfenniganteil nicht größer als 11 sein.
In der Divisionsaufgabe (£?? ??s ?d) : 8 = £? ?s ?d ist jede Ziffer des Dividenden und des Quotienten durch ein Fragezeichen ersetzt worden. Rekonstruieren Sie die Aufgabe so, dass in der Rechnung alle Ziffern von 1 bis 9 genau einmal vorkommen.
Bezeichnet man die Ziffern der Rechnung mit den Buchstaben von a bis h, kann man sie vereinfacht als ab|cd|e : 8 = f|g|h darstellen.
Da zwanzig Schillinge ein Pfund sind, kann die Zehnerstelle c der Schillinge nur eine 1 sein.
Für alle Werte von h außer für 2 und 5 ergibt sich aus 8h für e ein Wert von 0 oder 8, die aber beide nicht möglich sind. Für h = 2 oder 5 hingegen erhält man e = 4.
Nun überprüft man als Pfundbetrag des Dividenden die Zahlen von 23 bis 97. Bis auf die beiden Zahlen 26 und 27 scheiden alle aus verschiedene Gründen aus, wie beispielsweise durch das Mehrfachauftreten von Ziffern oder durch Divisionsreste, die größer als 3 sind. Folglich muss h = 5 sein und die Rechnung vereinfacht sich zu 2b|1d|4 : 8 = 3|g|5.
Für b, d und g bleiben nur noch die Ziffern 6, 7 und 9 übrig. Die Kombinationen kann man schnell überprüfen und man findet als einzige Lösung (£26 19s 4d) : 8 = £3 7s 5d.
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