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Polyeder mit Fünfecken

Drei regelmäßige Fünfecke

Felix spielt mit seinem Polyeder-Baukasten. Er knipst zwei (regelmäßige) Fünfecke zusammen und verbindet sie zusätzlich mit zwei Dreiecken. Ein drittes Fünfeck passt an eins der beiden Dreiecke sowie an beide Fünfecke – aber dann wollen weitere Fünfecke irgendwie nicht passen. Kann er den Körper mit weiteren Dreiecken zu einem geschlossenen Polyeder ergänzen, und wie viele Dreiecke braucht er dazu?

Ikosaeder.

Zu den drei Fünfecken braucht man insgesamt fünf Dreiecke, um das Johnson-Polyeder Nr. 63 zu bauen.

Dass dieses wirklich exakt existiert, ist nicht ganz so verwunderlich: Schneidet man aus dem regulären Ikosaeder drei fünfzählige Pyramiden entlang einiger der von seinen Kanten gebildeten Ebenen ab, erzeugt man dieses Johnson-Polyeder. Jede der fünfeckigen Schnittflächen wird zu einer Außenfläche und ersetzt dabei eine Pyramide aus 5 Dreiecken – so bleiben von den 20 Dreiecken noch 5 übrig.

Man kann das einzeln stehende Dreieck andererseits wieder durch ein aufgesetztes Tetraeder ersetzen. Die Bergfalten sind bemerkenswert flach, aber vorhanden, so dass auch dieses Polyeder konvex ist. Damit ist es auch ein Johnson-Polyeder, und zwar das mit der Nummer 64.

Was geschieht, wenn man vom Ikosaeder weniger als drei Pyramiden abschneidet?

Wenn man zwei fünfzählige Pyramiden abschneidet, so können deren Grundflächen (die verbleibenden Fünfecke) parallel zueinander liegen: Wir erhalten das fünfzählige Antiprisma, das zu den eckenkongruenten halbregulären Polyedern gehört.

Sind diese fünfeckigen Flächen nicht parallel zueinander, so bekommt man das Johnson-Polyeder Nr. 62:

Schließlich kann man sich auch mit dem Abschneiden von nur einer Pyramide begnügen. Johnson fasst das Ergebnis als Vereinigung des genannten Antiprismas und einer Pyramide auf und gibt ihm die Nummer 11:

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