Punctum aequans
Aus einer Vordiplomprüfung:
Was ist in dem einen Brennpunkt der Kepler-Ellipse?
Die Sonne, oder genauer der Schwerpunkt des Sonnensystems.
Und im anderen?
Der bleibt leer.
Nehmen wir an, dass da trotzdem jemand in diesem zweiten Brennpunkt sitzt: Sieht er den Planeten im Perihel oder im Aphel mit einer größeren Winkelgeschwindigkeit? Bekanntlich sagt das 2. Gesetz Keplers (Flächensatz) speziell für diese beiden Punkte, dass dort die Produkte aus den Geschwindigkeiten und den Entfernungen vom Brennpunkt gleich sind.
Beachten Sie den Zusammenhang zwischen den Abständen und den Halbachsen sowie der (absoluten) Exzentrizität.
Da beide Brennpunkte symmetrisch zueinander auf der großen Achse der Kepler-Ellipse liegen, folgt aus dem Flächensatz \(v_1 \cdot z = v_2 \cdot (z+u)\) und daraus \[ {v_2 \over z} = {v_1 \over z+u} \; : \]Die Winkelgeschwindigkeit vom "zweiten" Brennpunkt aus gesehen ist in beiden Apsiden gleich. Für Ellipsen, die sich nicht zu sehr von der Kreisform unterscheiden, bleibt sie sogar für den ganzen Umlauf einigermaßen konstant.
Man kann daher für den zeitlichen Verlauf der Wanderung auf der Kepler-Ellipse recht gut ein Modell bauen, in dem man den Planeten auf der Ellipse führt, aber mit einem gleichmäßig drehenden Zeiger um den "zweiten" Brennpunkt antreibt, der darum "punctum aequans", "gleichmachender Punkt", heißt.
In dieser Animation zeigt die stets exakt gleich große rote Fläche (genau: ergänzt zu denken um den von der dick gemalten Sonne verdeckten Teil) das 2. Gesetz Keplers, die blau markierten Winkel sind annähernd gleich (und in den Apsiden sogar genau gleich) und illustrieren unsere Aussage über den 2. Brennpunkt.
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