Wie man leicht nachrechnet, gilt für je zwei Zahlen \(p\) und \(q\) \[(p\cdot q)^2 + \left(\frac{p^2-q^2}{2}\right)^2=\left(\frac{p^2+q^2}{2}\right)^2 \]

Wir können uns den unvermeidlichen kleinen Fehler entweder bei dem rechten Winkel genehmigen – das ergibt eine Raute – oder bei den Seitenlängen; das ergibt ein Rechteck.

Die Raute (das ist ein Parallelogramm mit 4 gleichen Seiten) hat z. B. die Seiten 1000000 Einheiten und eine Diagonale, die so lang ist wie die ganzzahlig gerundete Diagonale des Quadrates dieser Seitenlänge, also 1414214 Einheiten. Dadurch weichen die Winkel der Raute von den rechten Winkeln ab, aber erst in der 6. Dezimale.

Beim Rechteck bestehen wir exakt auf den rechten Winkeln, lassen aber dafür einen (sehr kleinen!) Unterschied in der Länge der Seitenpaare zu. Seine Hälfte ist also ein rechtwinkliges Dreieck mit fast gleichen Katheten, aber mit allen Seiten als ganzzahlig-Vielfache einer gemeinsamen Einheit.

Um es zu finden, nutzen wir die als Anleitung gegebene Identität. Sie liefert offensichtlich ganzzahlige Werte, wenn \(p\) und \(q\) ganzzahlig und \(p + q\) gerade sind. Wir verwenden Paare mit \(p \ge q\), die anderen liefern nichts Neues. Aus jedem Paar \(p, q\) kann man ein pythagoreisches Tripel \(a, b, c\) machen, indem man \(a = p\cdot q\), \(b = (p^2-q^2)/2\) und \(c = (p^2+q^2)/2\) setzt. (Man kann sogar beweisen, dass man alle primitiven pythagoreischen Tripel auf diese Weise erzeugen kann. Ein pythagoreisches Tripel heißt primitiv, wenn \(a, b\) und \(c\) teilerfremd sind. Jedes pythagoreische Tripel ist ein primitives Tripel mal – möglicherweise – einem gemeinsamen Faktor.)

Wenn wir \(a\) und \(b\) nahezu gleich machen wollen, muss also \(2 p \cdot q \approx p^2-q^2\) sein. Löst man diese quadratische Gleichung auf, findet man, dass \(p \approx q \cdot (1 + \sqrt{2} )\) sein soll, aber trotzdem \(p\) und \(q\) beide ganzzahlig und sogar geradzahlig.

Wir wählen \(q = 1000000\) und \(p = 2414214 ( = 1000000 + 1414214)\). Dann finden wir (zum Teil mit sinnvoller Benutzung des Taschenrechners) für die ganzzahligen Seitenlängen des exakt rechtwinkligen Dreiecks:\[\eqalign{a &= 2414214000000\cr b &= 2414214618898\cr c &= 3414214618898} \]

Darin sind \(a\) und \(b\) auf 6 Dezimalstellen genau gleich (und nebenbei: \(c\) ist genau um 1000000000000 länger als \(b\)).In den unten stehenden Beispielen sind die Ungenauigkeiten deutlich zu sehen, und die Zahlen sind bequem abzulesen: