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Spirale mit dem Zirkel

Treitz-Rätsel

Welche Rechenregel gibt es über die Summen der Quadrate der Fibonacci-Zahlen (das sind Zahlen \(f_i\) mit \(f_0=0\), \(f_1=1\), \(f_{i+2} = f_i+f_{i+1}\)? Wenn Sie das als Legespiel lösen, haben Sie auch gleich eine Methode, wie man mit einem Zirkel (ungefähr) eine logarithmische Spirale zeichnet, die bei jeder Vierteldrehung um den goldenen Schnitt größer wird.

Die Zahlenfolge fängt also so an: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …

Beim Legespiel kann man eigentlich nichts falsch machen:

Das Rechteck nähert seine Proportionen immer genauer dem goldenen Schnitt an, und seine Fläche ist stets das Produkt der höchsten Fibonacci-Zahl, deren Quadrat in der Summe noch erfasst wurde, und der nächstgrößeren:\[\sum_{i=1}^n f_i^2 = f_n f_{n+1} \]

Um den Startpunkt kann man Viertelkreise zeichnen, die sich ohne Knick aneinander fügen und recht gut eine logarithmische Spirale annähern. Letztere ist hier so gewählt, dass sie durch die Ecken geht und damit die Kanten nicht berührt, sondern je zweimal schneidet:

  • Quellen
Martin Gardner, Scientific American, August 1959

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