Hemmes mathematische Rätsel: Spitze Winkel eines Vielecks
Der »National Council of Teachers of Mathematics«, ein Verband amerikanischer Mathematiklehrer, gibt seit über 100 Jahren monatlich die Zeitschrift »The Mathematics Teacher« heraus. Das mittlere Doppelblatt jedes Heftes lässt sich herausnehmen und ist ein Kalender des jeweiligen Monats, der für jeden Tag eine mathematische Denksportaufgabe enthält. Die Aufgaben werden von Lehrern und Schülern zusammengestellt. Ein paar Hundert dieser Kalenderprobleme sind inzwischen zu zwei Büchern zusammengestellt worden. Das erste Buch heißt »Mathematical Challenges for the Middle Grades« und das zweite »Calendar Problems from the Mathematics Teacher«. Das heutige Rätsel ist eine Kalenderaufgabe vom April 1999. Sie stammt von Monte Zerger, der bis zu seiner Pensionierung Mathematikprofessor an der Adams State University in New Mexico war.
Wie viele spitze Innenwinkel kann ein ebenes, konvexes Vieleck höchstens besitzen?
Zur Erinnerung: Konvex bedeutet, dass zwei Punkte innerhalb des Vielecks immer durch eine Gerade verbunden werden können, die das Vieleck nicht verlässt.
Verbindet man die Ecken eines konvexen \(n\)-Ecks mit einem beliebigen Punkt \(P\) im Inneren der Figur, entstehen \(n\) Dreiecke. Diese haben zusammen eine Innenwinkelsumme von \(n\cdot180^o.\) Die Winkel, die am Punkt \(P\) zusammenstoßen, betragen insgesamt 360°. Die restlichen Winkel, die gerade der Winkelsumme des \(n\)-Ecks entsprechen, haben somit einen Wert von \((n-2)\cdot 180^o.\)
Wir bezeichnen nun mit \(k\) die Anzahl der spitzen Winkel des \(n\)-Ecks. Ihre Winkelsumme muss folglich kleiner als \(k\cdot 90^o\) sein. Die verbleibenden \(n-k\) Winkel sind alle mindestens 90° groß, aber kleiner als 180°; ihre Winkelsumme beträgt somit weniger als \((n-k)\cdot 180^o.\) Dies zusammen ergibt die Ungleichung \((n-2)\cdot 180^o < k\cdot 90^o+ (n-k)\cdot 180^o.\) Sie lässt sich zu \(k<4\) vereinfachen. Folglich kann ein konvexes \(n\)-Eck höchstens drei spitze Winkel besitzen.
Dass es auch für jeden Wert von \(n\), der größer als 2 ist, tatsächlich ein konvexes \(n\)-Eck mit drei spitzen Winkeln gibt, ist leicht zu beweisen. Für \(n=3\) erfüllt ein gleichseitiges Dreieck diese Bedingungen. Für alle anderen Werte von \(n\) kann man ein solches \(n\)-Eck bilden, wie es die Skizze zeigt, indem man zwei lange und zwei hinreichend kurze Strecken durch drei spitze, knapp unter 90° große Winkel aneinanderhängt und die Lücke durch \(n−4\) Strecken füllt.
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