Hemmes mathematische Rätsel: Turm und Läufer
Volker Wagner aus Wermelskirchen hat zahlreiche Denksportaufgaben erfunden. Er wurde 1965 geboren, studierte in Dortmund Chemie und promovierte in Bonn. Sein folgendes Schachproblem ist noch sehr jung und wurde bisher nur in einem Denksportforum im Internet veröffentlicht.
Ein weißer Turm und ein schwarzer Läufer werden auf zwei zufällig gewählte Felder eines gewöhnlichen Schachbretts gestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Figuren die andere bedroht? Selbstverständlich gelten für die beiden Figuren die üblichen Schachregeln.
Ein Turm bedroht, ganz egal wo auf dem Schachbrett er steht, immer sieben Felder in vertikaler und sieben Felder in horizontaler Richtung. Da er 64 Felder zur Auswahl hat, gibt es insgesamt 64 × 14 = 896 Möglichkeiten, wo ein Turm und ein von ihm bedrohter Läufer stehen können.
Ein Läufer hingegen bedroht nicht immer gleich viele Felder. In der Abbildung ist in jedem Feld notiert, wie viele Felder er von dort aus bedroht. Zählt man sie alle zusammen, erhält man 560 Möglichkeiten, wo ein Läufer und ein von ihm bedrohter Turm stehen können. Da es keine Stellung der beiden Figuren gibt, bei der sie sich gegenseitig bedrohen können, kann man die Anzahlen der Möglichkeiten einfach addieren, um die Zahl der Stellungen zu erhalten, in der eine der beiden Figuren die andere bedroht: 896 + 560 = 1456.
Es gibt insgesamt 64 Möglichkeiten, die erste Figur auf das Brett zu stellen. Nun bleiben noch 63 Felder frei, um die zweite Figur unterzubringen. Insgesamt gibt es also 64 × 63 = 4032 Möglichkeiten den Turm und den Läufer auf das Schachbrett zu stellen. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Figur die andere bedroht, 1456/4032 = 13/36.
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