In eine mathematische Formel steckt man an einem Ende Zahlen oder Symbole hinein, und am anderen Ende kommen andere Zahlen oder Symbole heraus. So banal das klingt, es ist fast immer richtig. Aber eben nur fast: Manchmal sind Input und Output identisch, und dann wird die Sache in vielen Fällen besonders interessant. Denn dann hat man einen so genannten Fixpunkt gefunden:

Diese simple Gleichung beschreibt eine Abbildung f, die eine Menge X auf sich selbst abbildet. Oder ein wenig einfacher gesagt: Hat man eine mathematische Funktion f, dann ist eine Zahl genau dann ein Fixpunkt, wenn f(x) = x gilt. Solche Punkte muss es nicht immer geben. Bei der Funktion f(x) = x² – 5x + 9 ist zum Beispiel ziemlich schnell klar, dass x = 3 ein Fixpunkt sein muss. Ebenso schnell ist klar, dass die Funktion f(x) = x + 3 mit Sicherheit keinen Fixpunkt haben kann. Bei komplexeren Problemen ist aber nicht auf den ersten Blick ersichtlich, ob eine Abbildung Fixpunkte hat oder nicht. Für diese Fälle hat die Mathematik ein großes Repertoire an so genannten Fixpunktsätzen, die einem genau sagen, unter welchen Bedingungen Fixpunkte existieren oder nicht.

Fixpunkte sind in so gut wie allen Bereichen der Mathematik von großer Bedeutung. Mir sind sie das erste Mal begegnet, als ich mich bei meiner Arbeit als Himmelsmechaniker mit der Bewegung von Asteroiden und Planeten beschäftigt habe. Die entsprechenden Gleichungen beschreiben dort, wie sich der Ort und die Geschwindigkeit des untersuchten Himmelskörpers verändern. Man wählt einen Anfangszustand, und die Bewegungsgleichungen sagen mir, wie der Zustand des Objekts zu einem späteren Zeitpunkt aussieht. Wenn sich dieser Zustand aber nicht mehr ändert, also von Zeitschritt zu Zeitschritt immer gleich bleibt, dann hat man einen Fixpunkt gefunden. Eine stabile Umlaufbahn zum Beispiel oder den Gleichgewichtspunkt eines dynamischen Systems.

Auch in anderen Disziplinen sind diese Gleichgewichtspunkte wichtig. Der Mathematiker John Nash schuf mit dem nach ihm benannten "Nash-Gleichgewicht" einen zentralen Begriff der Spieltheorie. Dabei geht es darum, in Spielen – die aber durchaus reale Konflikt- oder Kooperationsszenarien beschreiben können – die Entscheidungen der Spieler mathematisch zu untersuchen. Im Allgemeinen weiß man allerdings nicht, wie sich die anderen Spieler entscheiden werden beziehungsweise wie sich die eigene Entscheidung auf die Handlungen der Mitspieler auswirken wird. Nash ging bei seiner Analyse von allen möglichen Strategien aller Spieler aus und identifizierte dann diejenigen, bei denen kein einzelner Spieler mehr einen Anreiz hat, von seiner jeweiligen Strategie abzuweichen. Oder anders gesagt: Bei einem Nash-Gleichgewicht denkt jeder Spieler, dass er das Beste getan hat, was er unter den gegebenen Umständen tun konnte, und stellt fest, dass jede andere Option zu einem für ihn schlechteren Ergebnis führen würde.

Nichts geht mehr (besser)

Das Nash-Gleichgewicht stellt also einen Fixpunkt von spieltheoretischen Algorithmen dar und die Suche nach solchen Fixpunkten eine wichtige ökonomische Anwendung der Mathematik. Das Konzept der Fixpunkte kann jeder auch selbst ganz einfach ausprobieren. Dazu braucht man einen Taschenrechner, mit dem man den Kosinus einer beliebigen reellen Zahl berechnet (dabei ist darauf zu achten, dass die Berechnung im "Radiant"-Modus erfolgt). Das Ergebnis dient als Input für eine erneute Kosinus-Berechnung – und so weiter. Egal mit welcher Zahl man beginnt: Am Ende wird sich das Ergebnis immer mehr der Zahl 0,739085133… nähern. Denn genau das ist ein Fixpunkt der Gleichung f(x) = cos(x) beziehungsweise grafisch betrachtet der Schnittpunkt zwischen der Kosinus-Funktion und der Diagonale y = x in einem Koordinatensystem.

Die Mathematik ist ein wunderbares Werkzeug, um Veränderungen zu beschreiben, zu berechnen und vorherzusagen. Manchmal muss aber auch wissen, wann sich etwas nicht ändert. Wenn alles so bleibt, wie es ist, ist das oft interessanter als der stetige Wandel. Die Fixpunktsätze der verschiedenen mathematischen Disziplinen sagen uns, unter welchen Umständen die Veränderung zum Stillstand wird, und sie sind genau aus diesem Grund von so großer Bedeutung.