Lexikon der Geowissenschaften: Lagegenauigkeit
Lagegenauigkeit, speziell von punkt- und linienförmigen Objekten. Die Lagegenauigkeit eines Einzelpunktes bzw. des geometrischen Schwerpunktes eines Punktobjektes wird gewöhnlich durch seine mittleren quadratischen Koordinatenfehler ( = Standardabweichungen) σx, σy charakterisiert. Ein gegenüber Drehungen des Koordinatensystems invariantes Genauigkeitsmaß ist der mittlere Punktlagefehler σp nach Helmert (1868), definiert als Quadratwurzel aus der Spur:
der Kovarianzmatrix, welche die Fehlersituation vollständig beschreibt. Geometrisch kann man ihn als Radius eines (Fehler-) Kreises deuten, der die wahre Punktlage mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit überdeckt (Vertrauensbereich). Auch andere Vertrauensbereiche sind möglich (Konfidenzellipsen). Im ATKIS (DLM 25) beispielsweise wird σp ≈ 3 m im Naturmaß angestrebt. Die Lagegenauigkeit von Linienobjekten wird durch sog. Fehlerbänder, welche die Linienlage mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit überdecken, charakterisiert. Konstruiert werden sie als Einhüllende der Fehlerkreise von Punkt zu Punkt. Für polygonale Linien sind sie in den Polygonpunkten (PP) am breitesten, in der Mitte zwischen den PP am schmalsten. An gekrümmten Linien ist noch ein Interpolationsfehler, der in den PP verschwindet und in Polygonseitenmitte am größten ausfällt, zu berücksichtigen, so daß sich die resultierenden Bänder zwischen den PP aufwölben. In allen genannten Genauigkeitsmaßen müssen Erfassungs-, Generalisierungs- und Kartierfehler, bezüglich digitaler Modelle auch Digitalisierfehler, beachtet werden. Ein Sonderfall ist die Bestimmung der Lagegenauigkeit von Höhenlinien. Sie kann als Umkehrung der Koppeschen Formel (Höhengenauigkeit) mit:
σL = σhcotα = b+acotα
angegeben werden. Neben der Darstellungsgenauigkeit der Höhenlinien (konstanter Anteil b) beeinflußt die Geländeneigung den Lagefehler entscheidend: bereits bei α ≈ 5,5º wird σL ≈ 10 σh und für α→∞ wächst σL über alle Grenzen. Dies ist auch ein Grund dafür, daß in topographischen Kartenwerken unterhalb einer vereinbarten Grenzneigung keine Höhenlinien, sondern ausgewählte Höhenpunkte dargestellt werden. Ein damit zusammenhängendes Problem ist die Vorhersagegenauigkeit von Überschwemmungsgebietsgrenzen: im abfließenden Hochwasser ist die Hochwasserlinie eine gegen die Höhenlinien h = const schwach geneigte Raumkurve, im stehenden Hochwasser eine Höhenlinie. In flachen Flußniederungen ist daher die Vorhersage sowohl des Niveaus als auch der Grenzlinie ein überkritisches Problem. Neben den Lagefehlern können auch Richtungs- und Krümmungsfehler der Höhenlinien abgeschätzt werden. Letztere dienen vor allem zur Beurteilung der formtreuen Abbildung des Reliefs. Höhenlinien sollen konform sein, d.h. "gleichsinnig" verlaufen bzw. eine "gute Krümmungsverwandtschaft" aufweisen. Statistisch gesprochen bedeutet dies eine möglichst große Kreuzkorrelation zwischen den Krümmungen benachbarter Höhenlinien. Die Isolinienkrümmung steht nach dem Satz von Meusnier mit der Reliefkrümmung im Normalschnitt in Beziehung. Sofern diese Beziehung auf den Vertikalschnitt reduziert wird, kann sie auch fehlertheoretisch ausgenutzt werden. Sind z.B. Höhenlinien aus einem digitalen Höhenmodell (DHM) mit Gitterweite Δ interpoliert worden, wobei das DHM der diskreten Realisierung eines homogen-isotropen, stetig partiell differenzierbaren Zufallsfeldes mit rotationssymmetrischer Autokovarianzfunktion (AKF):
Chh(r),r2: = Δx2+Δy2
entspreche, ist ihr Lagefehler σL nach Bethge (1997) gegeben durch:
Dabei bezeichnen φ die Isolinienrichtung, φ' ihre 1. Ableitung nach der Bogenlänge ( = Linienkrümmung) und:
den Nullwert der 4. Ableitung der AKF-Chh, identisch mit der Varianz der Relief-"Wölbung". Neben dem Diskretisierungs- bzw. Interpolationseffekt wirken sich also typische Reliefeigenschaften auf den Lagefehler der interpolierten Höhenlinien aus. [SM]
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