Lexikon der Mathematik: adjungierte Matrix
die aus einer (n × n)-Matrix A = (aij) über ℝ oder ℂ durch Vertauschen von Zeilen und Spalten und anschließende komplexe Konjugation entstandene (n × n)-Matrix
(A∗ ist dann die zu A adjungierte Matrix).
Repräsentiert die Matrix A einen Endomorphismus f auf einem n-dimensionalen euklidischen oder unitären Vektorraum (V, 〈·, ·〉) bezüglich einer Orthonormalbasis B von V, so repräsentiert die zu A adjungierte Matrix A∗ den durch (1) eindeutig bestimmten zu f adjungierten Endomorphismus f∗ : V → V:
für alle υ1, υ2 ∈ V.
In einem endlich-dimensionalen euklidischen oder unitären Vektorraum besitzt jeder Endomorphismus einen adjungierten Endomorphismus. In unendlich-dimensionalen Vektorräumen gilt das nicht; jedoch ist der adjungierte Endomorphismus im Falle der Existenz stets eindeutig bestimmt. Für zwei Endomorphismen f, g auf einem euklidischen oder unitären Vektorraum, zu denen die adjungierten Endomorphismen f∗ und g∗ existieren, gilt:
Im Falle dim V< ∞ gilt auch
(Dimension eines Vektorraumes, Bild einer linearen Abbildung, Kern einer linearen Abildung.)
Im Falle f = f∗ heißt der Endomorphismus f selbstadjungiert.
Ein Endomorphismus auf einem endlich-dimensionalen unitären (euklidischen) Vektorraum V ist genau dann selbstadjungiert, wenn er bezüglich einer Orthonormalbasis von V durch eine Hermitesche (symmetrische) Matrix repräsentiert wird.
[1] Fischer, G.: Lineare Algebra. Verlag Vieweg Braunschweig, 1978.
[2] Koecher, M.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1992.
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