Lexikon der Mathematik: Bernoullische Zahlen
im wesentlichen die Koeffizienten der Taylorreihe der Funktion f(z) = z/(ez − 1).
Genauer gilt für |z| < 2π
Man erhält leicht B0= 1, \({B}_{1}=-\frac{1}{2}\) und B2n+1 = 0 für n ∈ ℕ. Weiter gilt für n ≥ 2 die Formel
Hieraus folgt, daß alle Bernoullischen Zahlen rational sind, und sich rekursiv berechnen lassen. Zum Beispiel gilt
Die Folge (B2n) ist unbeschränkt. Die Numerierung der Bernoullischen Zahlen ist in der Literatur nicht einheitlich. So werden häufig die verschwindenden Zahlen B2n+1 überhaupt nicht bezeichnet, und statt B2n wird (−1)n−1Bn gesetzt.
Die Bernoullischen Zahlen spielen noch bei anderen Taylorreihen eine Rolle, nämlich
Schließlich können die Bernoullischen Zahlen auch als Absolutglieder der Bernoulli-Polynome definiert und so viele ihrer Eigenschaften auch auf anderem Wege hergeleitet werden.
Sie spielen u. a. eine wichtige Rolle bei der Euler-Maclaurinschen Summenformel.
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