äußere Ableitung, der Ausdruck

\begin{eqnarray}\text{d}f:={\text{d}}_{r}f:=(r+1){\text{A}}_{r+1}\dot{f}\end{eqnarray}

für ein r-Feld f (alternierender Abbildungen) mit einem r ∈ ℕ₀. Hierbei seien \({\mathfrak{R}}\) und \({\mathfrak{S}}\) zwei normierte Vektorräume, O eine offene Teilmenge von ℜ und f eine differenzierbare Abbildung auf O mit Werten in den alternierenden beschränkten r-linearen Abbildungen von ℜ^r in ϭ. A_r+1 bezeichnet die entsprechende Alternante (Alternante (einer multilinearen Abbildung)). ḟ ist dabei über die Ableitung f′(x) von f wie folgt definiert:

\begin{eqnarray}\dot{f}(x)({h}_{0},\ldots, {h}_{r}):=({f}^{^{\prime} }(x){h}_{0})({h}_{1},\ldots, {h}_{r})\end{eqnarray}

Im endlich-dimensionalen Fall kann die Cartan- Ableitung über Koordinatendarstellung gewonnen werden (Vektoranalysis).