Lexikon der Mathematik: duale Paarung
Tripel (V, W, 〈., .〉), bestehend aus zwei Vektorräumen V und W über dem Körper \({\mathbb{K}}\) und einer Bilinearform \(\langle \cdot, \cdot \rangle \,:\,V\,\times \,W\,\to \,{\mathbb{K}}\), für das gilt:
\begin{eqnarray}\forall v\in V\backslash \{0\}\exists w\in W\,\text{so},\,\rm{da}\unicode{x00DF}\,\langle v,w\rangle \ne 0,\end{eqnarray}
und\begin{eqnarray}\forall w\in W\backslash \{0\}\exists v\in V\,\text{so},\,\rm{da}\unicode{x00DF}\,\langle v,w\rangle \ne 0.\end{eqnarray}
Ist einer der beiden Vektorräume V und W einer dualen Paarung endlichdimensional, so ist es auch der andere, und beide sind isomorph.
Ist (v1,…, vn) eine Basis von V, so gibt es genau eine Basis (w1,…, wn) von W mit
\begin{eqnarray}\langle {v}_{i},{w}_{j}\rangle ={\delta }_{ij,}\end{eqnarray}
Jedes Tripel (V, V*, 〈., .〉), bestehend aus einem endlichdimensionalen Vektorraum V, seinem Dualraum V* und der durch
\begin{eqnarray}\langle \cdot, \cdot \rangle :V\times {V}^{* }\to {\mathbb{K}};\,\,(v,{v}^{* })\mapsto {v}^{* }(v)\end{eqnarray}
gegebenen Bilinearform, bildet eine duale Paarung (duales Paar); ebenso jedes Tripel (V, V, 〈., .〉), wo (V, 〈., .〉) einen endlichdimensionalen euklidischen Vektorraum bezeichnet (ein euklidischer Vektorraum ist zu sich selbst dual).
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.