Lexikon der Mathematik: Einschließungseigenschaft
eine grundlegende Eigenschaft der Intervallrechnung, die besagt, daß die Intervallauswertungf(x) einer Funktion f : D ⊆ ℝ → ℝ über einem kompakten Teilintervall x ⊆ D (sofern sie existiert) den Wertebereich f (x) enthält:
Diese Aussage hängt nicht von der Gestalt des Funktionsausdrucks f(x) ab. Gleichheit gilt z. B., wenn die Variable x in f(x) nur einmal auftritt.
Die Einschließungseigenschaft gilt in analoger Weise bei Funktionen mit mehreren Variablen und bei Funktionen mit Parametern.
Tritt die Variable x in f(x) mehrfach, etwa n-mal, auf, so liefert die Intervallauswertung häufig eine Überschätzung des Wertebereichs. Ersetzt man nämlich x in f(x) beim ersten Auftreten durch x1, beim zweiten durch x2 usw., so erhält man einen Funktionsausdruck g(x1, …, xn), für den zwar f(x) = g(x,…, x), x ∈ x gilt, für dessen Wertebereich über x × … × x aber im allgemeinen nur
Eine Möglichkeit, den Wertebereich genauer zu bestimmen, besteht in der Unterteilung von x in kleinere kompakte Intervalle, denn mit den bisherigen Bezeichnungen gilt der folgende Satz:
Ist g(x1, …, xn) Lipschitz–stetig inx × … × xso existiert einγ ≤ 0 mit
Gilt etwa
Für die Mittelwertform, die Steigungsform oder eine andere zentrierte Form kann (1) durch die Abschätzung
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